Encontre a solução geral da equação diferencial de ordem superior.
y^(8)+8 y^(4)+16 y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial linear de ordem 8 com coeficientes constantes
y^(8) + 8,y^(4) + 16,y = 0
O conteúdo que vamos usar é a equação característica: procuramos soluções do tipo y=e^r x e montamos o polinômio característico em r.

Passo 2

Substituindo y=e^r x na equação diferencial, obtemos o polinômio
r^8 + 8,r^4 + 16 = 0
Para simplificar, fazemos a mudança de variável m = r^4. Assim a equação vira
m^2 + 8,m + 16 = 0

Passo 3

Resolvendo a quadrática em m:
m^2 + 8,m + 16 = (m + 4)^2 = 0 Longrightarrow m = -4
com multiplicidade 2.

Passo 4

Retornando a r, temos
r^4 = -4 = 4,e^ipi
As quatro raízes são
rk = 4^1/4,e^il(tfracpi4+tfrackpi2r) =raiz2,e^i(pi/4 + kpi/2), k=0,1,2,3,
que equivalem a
r = 1+i,;-1+i,;-1-i,;1-i

Passo 5

Como o fator r^4+4 aparece ao quadrado em r^8+8r^4+16=(r^4+4)^2, cada uma dessas quatro raízes tem multiplicidade 2.

Passo 6

A solução geral complexa, anotando as quatro raízes rk com suas constantes Ck,Dk, é
y(x) =sumk=1^4l(Ck,e^rk x+Dk,x,e^rk xr)
Isso totaliza 8 constantes arbitrárias, compatível com uma EDO de 8ª ordem.

Passo 7

Para obter a forma real, agrupamos as raízes complexas conjugadas 1pm i e -1pm i. Introduzindo constantes reais Aj,Bj, chegamos a
y(x) =e^xl[(A1 + B1 x)cos x + (A2 + B2 x)sin xr] +e^-xl[(A3 + B3 x)cos x + (A4 + B4 x)sin xr]

Resposta

boxed y(x) =e^xl[(A1 + B1 x)cos x + (A2 + B2 x)sin xr] +e^-xl[(A3 + B3 x)cos x + (A4 + B4 x)sin xr],
onde A1,B1,A2,B2,A3,B3,A4,B4 são constantes arbitrárias.

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