Encontre a solução geral da equação diferencial de ordem superior.
Passo 1
Temos a equação diferencial linear de ordem 8 com coeficientes constantes
O conteúdo que vamos usar é a equação característica: procuramos soluções do tipo
e montamos o polinômio característico em
.
Passo 2
Substituindo
na equação diferencial, obtemos o polinômio
Para simplificar, fazemos a mudança de variável
. Assim a equação vira
Passo 3
Resolvendo a quadrática em
:
com multiplicidade 2.
Passo 4
Retornando a
, temos
As quatro raízes são
que equivalem a
Passo 5
Como o fator
aparece ao quadrado em
, cada uma dessas quatro raízes tem multiplicidade 2.
Passo 6
A solução geral complexa, anotando as quatro raízes
com suas constantes
, é
Isso totaliza 8 constantes arbitrárias, compatível com uma EDO de 8ª ordem.
Passo 7
Para obter a forma real, agrupamos as raízes complexas conjugadas
e
. Introduzindo constantes reais
, chegamos a
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.