Encontre a solução geral da equação diferencial de ordem superior.
y^(4)-4 y^prime prime prime+4 y^prime prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem superior
y^(4) - 4,y^primeprimeprime + 4,y^primeprime = 0
O método consiste em assumir uma solução do tipo y=e^r x e formar o polinômio característico.

Passo 2

Substituindo y=e^r x na equação, obtemos o polinômio característico
r^4 - 4,r^3 + 4,r^2 = 0

Passo 3

Fatoramos o polinômio característico:
r^2,(r^2 - 4r + 4) = 0
Isso dá as raízes
r^2 = 0Longrightarrow r=0 (mu< 2),
r^2 - 4r + 4 = 0Longrightarrow (r-2)^2=0 Longrightarrow r=2 (mu< 2)

Passo 4

Quando uma raiz r0 tem multiplicidade m, os termos associados na solução geral são
e^r0 x,;x e^r0 x,;dots,;x^m-1e^r0 x
Então, para r=0 (mult. 2) e r=2 (mult. 2), a solução geral é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^0cdot x ;+;l(C3 + C4,xr)e^2x,
ou seja
y(x) = C1 + C2,x + C3,e^2x + C4,x,e^2x

Resposta

y(x) = C1 + C2,x + C3,e^2x + C4,x,e^2x,
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados