Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O expoente é a função polinomial
. - A tarefa é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos relembrar uma ideia-chave que vamos usar (a explico passo a passo): é mais fácil derivar exponenciais quando a base é
. Para converter uma potência de base
em base
usamos a identidade
Isto vale porque
para qualquer
. Aqui
. Escrevendo a função assim, ficamos com uma composta do tipo
, cuja derivada é simples: se
, então
Esse resultado vem do fato básico de que
e da regra da cadeia (derivada de uma composição).
Passo 3
Reescrevo
usando a identificação acima:
Agora definimos
. Para aplicar a regra da cadeia, precisamos de
. Como
é uma constante, usaremos que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Além disso, a derivada de
é
e a derivada de
é
. Portanto
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia à expressão
, temos
Substituindo
e
,
Como
(voltando para a base original), obtemos
Passo 5
Dica prática para decorar: a derivada de
é sempre
Aplicando aqui com
e
dá exatamente o resultado acima. Exemplos rápidos para fixar:
-
. -
.
Você consegue usar esse padrão direto na prova sem reescrever em termos detoda vez.