Calcule a derivada de: f(x)=3^{x^{2}-3 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=3^{x^{2}-3 x}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=3^{x^{2}-3 x}.
  • O expoente é a função polinomial u(x)=x^{2}-3x.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Vamos relembrar uma ideia-chave que vamos usar (a explico passo a passo): é mais fácil derivar exponenciais quando a base é e. Para converter uma potência de base 3 em base e usamos a identidade
3^{u(x)} = e^{u(x)\ln 3}.
Isto vale porque a^{b}=e^{b\ln a} para qualquer a>0. Aqui u(x)=x^{2}-3x. Escrevendo a função assim, ficamos com uma composta do tipo e^{v(x)}, cuja derivada é simples: se g(x)=e^{v(x)}, então
g'(x)=e^{v(x)}\cdot v'(x).
Esse resultado vem do fato básico de que \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e da regra da cadeia (derivada de uma composição).

Passo 3

Reescrevo f usando a identificação acima:
f(x)=3^{x^{2}-3x}=e^{(x^{2}-3x)\ln 3}.
Agora definimos v(x)=(x^{2}-3x)\ln 3. Para aplicar a regra da cadeia, precisamos de v'(x). Como \ln 3 é uma constante, usaremos que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Além disso, a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de -3x é -3. Portanto
v'(x) = \ln 3 \cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-3x\bigr) = \ln 3 \cdot (2x-3).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à expressão f(x)=e^{v(x)}, temos
f'(x)=e^{v(x)}\cdot v'(x).
Substituindo v(x) e v'(x),
f'(x)=e^{(x^{2}-3x)\ln 3}\cdot (2x-3)\ln 3.
Como e^{(x^{2}-3x)\ln 3}=3^{x^{2}-3x} (voltando para a base original), obtemos
f'(x)=3^{x^{2}-3x}\cdot(2x-3)\ln 3.

Passo 5

Dica prática para decorar: a derivada de a^{u(x)} é sempre
\frac{d}{dx}a^{u(x)} = a^{u(x)}\cdot \ln a \cdot u'(x).
Aplicando aqui com a=3 e u(x)=x^{2}-3x dá exatamente o resultado acima. Exemplos rápidos para fixar:
  • \frac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2.
  • \frac{d}{dx}5^{x^{2}}=5^{x^{2}}\ln 5\cdot 2x.
    Você consegue usar esse padrão direto na prova sem reescrever em termos de e toda vez.

Resposta

f'(x)=3^{x^{2}-3x}\,(2x-3)\ln 3

Exercícios relacionados