Calcule a derivada de: f(x)=\frac{3^{x^{2}-3 x}}{2^{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{3^{x^{2}-3x}}{2^{x}}
e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes: a função é uma razão de potências com bases constantes 3 e 2 e expoentes que dependem de x. O objetivo é encontrar a expressão de f'(x).

Passo 2

Por que usar diferenciação logarítmica? Aqui vale uma mini-aula: quando temos funções que são produtos, razões ou potências onde a variável aparece no expoente, é muito prático aplicar o logaritmo natural e derivar depois — isso simplifica o uso da regra da cadeia. Além disso, existe uma fórmula útil que podemos obter rapidamente por esse processo: se g(x)=a^{u(x)} com a>0 constante e u(x) diferenciável, então
g'(x)=a^{u(x)}\ln(a)\,u'(x).
Prova curta dessa fórmula (para fixar): tome \ln g(x)=u(x)\ln a; derivando ambos os lados obtemos \dfrac{g'(x)}{g(x)}=u'(x)\ln a, daí g'(x)=g(x)\,u'(x)\ln a. É exatamente a regra que vamos usar combinada com a propriedade do logaritmo que transforma razão em diferença.

Passo 3

Aplicamos o logaritmo natural em f(x). Usando \ln\!\left(\dfrac{A}{B}\right)=\ln A-\ln B obtemos
\ln f(x)=\ln\big(3^{x^{2}-3x}\big)-\ln\big(2^{x}\big).
Agora usamos \ln(a^{u})=u\ln a para cada termo:
\ln f(x)=(x^{2}-3x)\ln 3 - x\ln 2.

Passo 4

Derivamos ambos os lados em relação a x. Pela regra da cadeia, a derivada de \ln f(x) é \dfrac{f'(x)}{f(x)}. Do lado direito, \ln 3 e \ln 2 são constantes, então derivamos termo a termo:
  • Derivada de (x^{2}-3x)\ln 3: \ln 3 é constante, derivada de x^{2}-3x é 2x-3. Logo o termo vira (2x-3)\ln 3.
  • Derivada de -x\ln 2: \ln 2 é constante, derivada de -x é -1. Logo o termo vira -\ln 2.
Assim:
\frac{f'(x)}{f(x)}=(2x-3)\ln 3 - \ln 2.

Passo 5

Isolamos f'(x) multiplicando ambos os lados por f(x):
f'(x)=f(x)\left[(2x-3)\ln 3 - \ln 2\right].
Agora substituímos f(x) pela expressão original:
f'(x)=\frac{3^{x^{2}-3x}}{2^{x}}\left[(2x-3)\ln 3 - \ln 2\right].

Passo 6

Comentário final e dica prática: essa é a forma mais direta e elegante. Se preferir, pode reescrever \left[(2x-3)\ln 3 - \ln 2\right] como \ln 3^{\,2x-3}-\ln 2 ou fatorar \ln se fizer sentido em outro contexto, mas para a prova a expressão encontrada é suficiente e fácil de manipular. Um exemplo rápido de aplicação do mesmo princípio: para g(x)=5^{x^{2}}, teríamos g'(x)=5^{x^{2}}\cdot 2x\ln 5 — mesmo raciocínio.

Resposta

f'(x)=\frac{3^{x^{2}-3x}}{2^{x}}\left[(2x-3)\ln 3 - \ln 2\right]

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