Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes: a função é uma razão de potências com bases constantes e
e expoentes que dependem de
. O objetivo é encontrar a expressão de
.
Informações relevantes: a função é uma razão de potências com bases constantes
Passo 2
Por que usar diferenciação logarítmica? Aqui vale uma mini-aula: quando temos funções que são produtos, razões ou potências onde a variável aparece no expoente, é muito prático aplicar o logaritmo natural e derivar depois — isso simplifica o uso da regra da cadeia. Além disso, existe uma fórmula útil que podemos obter rapidamente por esse processo: se
com
constante e
diferenciável, então
Prova curta dessa fórmula (para fixar): tome
; derivando ambos os lados obtemos
, daí
. É exatamente a regra que vamos usar combinada com a propriedade do logaritmo que transforma razão em diferença.
Passo 3
Aplicamos o logaritmo natural em
. Usando
obtemos
Agora usamos
para cada termo:
Passo 4
Derivamos ambos os lados em relação a
. Pela regra da cadeia, a derivada de
é
. Do lado direito,
e
são constantes, então derivamos termo a termo:
- Derivada de
: é constante, derivada de é . Logo o termo vira . - Derivada de
: é constante, derivada de é . Logo o termo vira .
Assim:
Passo 5
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Agora substituímos
pela expressão original:
Passo 6
Comentário final e dica prática: essa é a forma mais direta e elegante. Se preferir, pode reescrever
como
ou fatorar
se fizer sentido em outro contexto, mas para a prova a expressão encontrada é suficiente e fácil de manipular. Um exemplo rápido de aplicação do mesmo princípio: para
, teríamos
— mesmo raciocínio.