Calcule a derivada de: f(x)=\frac{1}{\left(x^{3}-x^{2}\right)^{6}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{1}{\left(x^{3}-x^{2}\right)^{6}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão explícita de f(x) e que precisamos encontrar f'(x). Não há outras restrições explícitas (mas devemos lembrar que a função não está definida em x=0 nem em x=1, pois o denominador zeraria).

Passo 2

Reescrevemos a função numa forma conveniente para derivar usando potências:
f(x)=\left(x^{3}-x^{2}\right)^{-6}.
Explicação: \dfrac{1}{A^{6}} = A^{-6}. Aqui A é \left(x^{3}-x^{2}\right).

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra da potência. Vou explicar essas regras de forma bem clara:
  • Regra da potência (caso simples): se g(x)=x^{n} com n constante, então g'(x)=n x^{n-1}. Ex.: se g(x)=x^{3}, g'(x)=3x^{2}.
  • Regra da cadeia (forma geral): se f(x)=h(u(x)), então f'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x). Ou seja, derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da interna.
No nosso caso a função externa é h(u)=u^{-6} e a função interna é u(x)=x^{3}-x^{2}. Aplicaremos primeiro a regra da potência à função externa e depois multiplicaremos pela derivada da interna (regra da cadeia).

Passo 4

Calculemos a derivada da interna u(x)=x^{3}-x^{2}:
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Derivada de x^{2} é 2x.
    Portanto,
u'(x)=3x^{2}-2x.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da potência à parte externa u^{-6}: a derivada é -6\,u^{-7}. Usando a regra da cadeia, multiplicamos por u'(x). Assim,
f'(x) = -6\left(x^{3}-x^{2}\right)^{-7}\cdot\left(3x^{2}-2x\right).
Expliquei: o -6 vem do expoente; o expoente diminui em 1 passando de -6 para -7; e multiplicamos pela derivada da expressão interna 3x^{2}-2x.

Passo 6

Vamos organizar o produto para ficar com uma forma de fração mais clara. Escrevendo como uma razão:
f'(x)=\frac{-6\left(3x^{2}-2x\right)}{\left(x^{3}-x^{2}\right)^{7}}.
Aqui apenas transformei u^{-7} em 1/u^{7} para deixar a expressão fracionária.

Passo 7

Podemos simplificar o numerador fatorando x e também fatorar o denominador para ver cancelamentos possíveis:
  • No numerador, 3x^{2}-2x = x(3x-2). Então o numerador fica -6x(3x-2).
  • No denominador, x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1). Então
\left(x^{3}-x^{2}\right)^{7} = \left(x^{2}(x-1)\right)^{7} = x^{14}(x-1)^{7}.
Substituindo:
f'(x)=\frac{-6x(3x-2)}{x^{14}(x-1)^{7}}.

Passo 8

Cancelamos um fator x entre numerador e denominador (lembrando que isso só vale quando x\neq0, e de fato a função original já não é definida em x=0). Após o cancelamento obtemos:
f'(x)=\frac{-6(3x-2)}{x^{13}(x-1)^{7}}.
Essa é uma forma bem simplificada da derivada, explícita e com fatores evidentes no numerador e denominador. Lembre-se das restrições de domínio: x\neq0 e x\neq1.

Resposta

f'(x)=\frac{-6(3x-2)}{x^{13}(x-1)^{7}}

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