Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão explícita de
e que precisamos encontrar
. Não há outras restrições explícitas (mas devemos lembrar que a função não está definida em
nem em
, pois o denominador zeraria).
Passo 2
Reescrevemos a função numa forma conveniente para derivar usando potências:
Explicação:
. Aqui
é
.
Passo 3
Vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra da potência. Vou explicar essas regras de forma bem clara:
-
Regra da potência (caso simples): se
com constante, então . Ex.: se , . -
Regra da cadeia (forma geral): se
, então . Ou seja, derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da interna.
No nosso caso a função externa é
e a função interna é
. Aplicaremos primeiro a regra da potência à função externa e depois multiplicaremos pela derivada da interna (regra da cadeia).
Passo 4
Calculemos a derivada da interna
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto,
Passo 5
Agora aplicamos a regra da potência à parte externa
: a derivada é
. Usando a regra da cadeia, multiplicamos por
. Assim,
Expliquei: o
vem do expoente; o expoente diminui em 1 passando de
para
; e multiplicamos pela derivada da expressão interna
.
Passo 6
Vamos organizar o produto para ficar com uma forma de fração mais clara. Escrevendo como uma razão:
Aqui apenas transformei
em
para deixar a expressão fracionária.
Passo 7
Podemos simplificar o numerador fatorando
e também fatorar o denominador para ver cancelamentos possíveis:
- No numerador,
. Então o numerador fica . - No denominador,
. Então
Substituindo:
Passo 8
Cancelamos um fator
entre numerador e denominador (lembrando que isso só vale quando
, e de fato a função original já não é definida em
). Após o cancelamento obtemos:
Essa é uma forma bem simplificada da derivada, explícita e com fatores evidentes no numerador e denominador. Lembre-se das restrições de domínio:
e
.