Calcule a derivada de: f(x)=\frac{x}{\left(x^{3}-x^{2}\right)^{6}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\frac{x}{\left(x^{3}-x^{2}\right)^{6}}.
Informações dadas:
f(x)=x\cdot\left(x^{3}-x^{2}\right)^{-6}.
A tarefa é encontrar f'(x) de forma explícita e simplificada.

Passo 2

Estratégia escolhida: vamos usar a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia (para a potência com expoente -6). Vou explicar as regras que uso:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u(x)=x e v(x)=\left(x^{3}-x^{2}\right)^{-6}.
  • Regra da cadeia + regra da potência: se w(x)=(g(x))^{n}, então
w'(x)=n\,(g(x))^{n-1}\,g'(x).
No nosso caso n=-6 e g(x)=x^{3}-x^{2}.

Passo 3

Calcule u'(x) e prepare para calcular v'(x).
u(x)=x \quad\Rightarrow\quad u'(x)=1.

Passo 4

Calcule v'(x) usando regra da cadeia. Primeiro derivada do interno:
g(x)=x^{3}-x^{2}\quad\Rightarrow\quad g'(x)=3x^{2}-2x = x(3x-2).
Agora aplique a regra da potência com n=-6:
v(x)=\big(g(x)\big)^{-6}\quad\Rightarrow\quad v'(x) = -6\big(g(x)\big)^{-7}\,g'(x).
Substituindo g e g':
v'(x) = -6\,(x^{3}-x^{2})^{-7}\,(3x^{2}-2x).

Passo 5

Aplique a regra do produto para obter f'(x):
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u',u,v,v':
f'(x) = (x^{3}-x^{2})^{-6} + x\left[-6\,(x^{3}-x^{2})^{-7}(3x^{2}-2x)\right].

Passo 6

Coloque em evidência o fator comum (x^{3}-x^{2})^{-7} e simplifique passo a passo. Observe que
(x^{3}-x^{2})^{-6} = (x^{3}-x^{2})\,(x^{3}-x^{2})^{-7}.
Logo
f'(x) = \big(x^{3}-x^{2}\big)(x^{3}-x^{2})^{-7} - 6x(3x^{2}-2x)(x^{3}-x^{2})^{-7}.
Colocando o fator comum:
f'(x) = \big[(x^{3}-x^{2}) - 6x(3x^{2}-2x)\big]\,(x^{3}-x^{2})^{-7}.

Passo 7

Efetue as contas dentro dos colchetes:
6x(3x^{2}-2x)=18x^{3}-12x^{2}.
Portanto
(x^{3}-x^{2}) - 6x(3x^{2}-2x) = x^{3}-x^{2} - 18x^{3} + 12x^{2} = -17x^{3} + 11x^{2}.
Fatorando x^{2}:
-17x^{3} + 11x^{2} = x^{2}(-17x + 11).
Assim temos
f'(x) = x^{2}(-17x+11)\,(x^{3}-x^{2})^{-7}.

Passo 8

Podemos simplificar mais usando x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1). Então
(x^{3}-x^{2})^{-7} = \big(x^{2}(x-1)\big)^{-7} = x^{-14}(x-1)^{-7}.
Multiplicando por x^{2} obtemos
x^{2}\,(x^{3}-x^{2})^{-7} = x^{2}\,x^{-14}(x-1)^{-7} = x^{-12}(x-1)^{-7}.
Portanto uma forma simplificada de f'(x) é
f'(x) = (-17x+11)\,x^{-12}\,(x-1)^{-7}.
Reescrevendo sem expoentes negativos:
f'(x) = \frac{11-17x}{x^{12}(x-1)^{7}}.

Resposta

f'(x)=\frac{11-17x}{x^{12}(x-1)^{7}}.

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