Calcule a derivada:
f(x)=12(tg(x))^2+ln (cos (x)),

Passo 1

Resumindo, o enunciado pede a derivada de
f(x)=12l(tan(x)r)^2+lnl(cos(x)r)
O conteúdo envolve derivadas de funções trigonométricas (regra da cadeia para tan) e de logaritmo (regra de derivada de ln).

Passo 2

Derivada do primeiro termo tfrac12(tan(x))^2: aplicando regra da cadeia,
ddxl[tfrac12(tan x)^2r] =tfrac12cdot 2,tan(x)cdotddxl[tan(x)r] =tan(x),sec^2(x)

Passo 3

Derivada do segundo termo ln(cos(x)): usando
ddx[ln(u)]=u'/u com u=cos(x) e u'=-sin(x),
ddxl[ln(cos x)r] =-sin(x)cos(x) =-tan(x)

Passo 4

Somando as parcelas,
f'(x)=tan(x)sec^2(x)-tan(x)
Fatorando tan(x) e usando a identidade sec^2(x)-1=tan^2(x),
f'(x)=tan(x)l(sec^2(x)-1r) =tan(x),tan^2(x)

Passo 5

Portanto, a derivada simplificada é
f'(x)=tan^3(x)

Resposta

f'(x)=tan^3(x)

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