Determine a derivada:
f(x)=e^-x arctg(e^x)tg(x).

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x) = e^-x,arctanl(e^xr)tan(x)
e pede f'(x). Para isso vamos usar:
  • Regra do quociente: se f=u/v então f'=u'v - u,v'v^2
  • Regra do produto: (gh)'=g'h + gh'.
  • Regra da cadeia para arctan(e^x).

Passo 2

Defina
u(x)=e^-x,arctanl(e^xr)
Derivando por produto e cadeia:
u'(x) = l(e^-xr)',arctan(e^x) + e^-x,l[arctan(e^x)r]'
Como l(e^-xr)'=-e^-x e
l[arctan(e^x)r]' =11+(e^x)^2cdot(e^x)' =e^x1+e^2x,
segue
u'(x) = -e^-x,arctan(e^x) + e^-x,e^x1+e^2x = -e^-x,arctan(e^x) + 11+e^2x

Passo 3

Defina
v(x)=tan(x)
Então
v'(x)=sec^2(x)

Passo 4

Aplicando a regra do quociente
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)v(x)^2 =l(-e^-xarctan(e^x)+tfrac11+e^2xr)tan(x) -;e^-xarctan(e^x),sec^2(x)tan^2(x)
Uma forma de simplificar é notar que tan(x)/tan^2(x)=cot(x) e sec^2(x)/tan^2(x)=csc^2(x). Assim
f'(x) =cot(x)1+e^2x ;-;e^-xarctan(e^x),l(cot(x)+csc^2(x)r)

Resposta

f'(x) =cot(x)1+e^2x ;-;e^-x,arctanl(e^xr),l(cot(x)+csc^2(x)r)

Exercícios relacionados