Calcule a derivada:
f(x)=log x(a).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=logx(a)
onde a é uma constante positiva. Para resolver isso vamos usar a fórmula de mudança de base de logaritmos e em seguida derivar usando regras de derivação de funções compostas.

Passo 2

Usando mudança de base para logaritmos, temos
f(x)=logx(a)=ln(a)ln(x),
pois ln é o logaritmo natural.

Passo 3

Agora vamos derivar
f(x)=ln(a)ln(x)
Como ln(a) é constante, escrevemos
f(x)=ln(a)cdotl(ln(x)r)^-1
e aplicamos a regra da cadeia: se g(u)=u^-1 e u(x)=ln(x), então
g'(u)=-u^-2, u'(x)=1x
Logo,
ddxl(ln(x)r)^-1 =-l(ln(x)r)^-2cdot1x

Passo 4

Multiplicando pelo fator ln(a), obtemos
f'(x) =ln(a)cdotgl(-1x,[ln(x)]^2gr) =-ln(a)x,[ln(x)]^2

Resposta

f'(x)=-ln(a)x,l[ln(x)r]^2

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