Exercício 7. (Apostol, capítulo 5.11, exercício 14) Para cada uma das afirmações, prove ou dê um contraexemplo. Abaixo A e B são matrizes em Mn times n(C) :
Se A e A B são unitárias, então B é unitária.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A e AB são unitárias em Mntimes n(C), então B também é unitária.
Conteúdo que vamos usar:
  1. Definição de matriz unitária: uma matriz U é unitária se
U^* U = I e U,U^* = I,
onde U^* é a conjugada-transposta de U.
2. Propriedade do adjunto de um produto:
(AB)^* = B^* A^*

Passo 2

Como AB é unitária, temos
(AB)^*(AB) = I
Usando (AB)^* = B^* A^* e o fato de que A é unitária ( A^*A=I), obtemos
B^* A^* A B = I ;;Longrightarrow;; B^* I B = I ;;Longrightarrow;; B^* B = I

Passo 3

Também da unitariedade de AB vem
(AB)(AB)^* = I
Novamente (AB)^* = B^*A^* e usando A A^* = I (já que A é unitária), segue
A B B^* A^* = I ;;Longrightarrow;; I,B B^* I = I ;;Longrightarrow;; B B^* = I

Passo 4

Juntando
B^* B = I e B B^* = I
vemos que B satisfaz as duas condições de unitariedade.

Resposta

B é unitária.

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