Exercício 7. (Apostol, capítulo 5.11, exercício 14) Para cada uma das afirmações, prove ou dê um contraexemplo. Abaixo
e
são matrizes em
:
Se
e
são unitárias, então
é unitária.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
são unitárias em
, então
também é unitária.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Definição de matriz unitária: uma matriz
é unitária se
onde
é a conjugada-transposta de
.
2. Propriedade do adjunto de um produto:
2. Propriedade do adjunto de um produto:
Passo 2
Como
é unitária, temos
Usando
e o fato de que
é unitária (
), obtemos
Passo 3
Também da unitariedade de
vem
Novamente
e usando
(já que
é unitária), segue
Passo 4
Juntando
vemos que
satisfaz as duas condições de unitariedade.