Calcule a derivada de f(x)=x^2+3 x usando a definição

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar a derivada de f(x)=x²+3x usando a definição de derivada, ou seja, aplicando limite de diferença quociente. Vamos precisar usar a fórmula da derivada como limite e saber expandir o binômio (x+h)².

Passo 2

A definição de derivada de f em um ponto x é dada por
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Aqui vamos aplicar exatamente essa fórmula.

Passo 3

Primeiro calculamos f(x+h). Substituindo x por x+h em f, temos
f(x+h)=(x+h)^2+3(x+h)=x^2+2xh+h^2+3x+3h

Passo 4

Agora fazemos a diferença f(x+h)–f(x):
f(x+h)-f(x)=l(x^2+2xh+h^2+3x+3hr)-l(x^2+3xr)=2xh+h^2+3h

Passo 5

Em seguida dividimos essa diferença por h:
f(x+h)-f(x)h=2xh+h^2+3hh=2x+h+3
Isso acontece porque podemos fatorar h no numerador e simplificar.

Passo 6

Por fim, aplicamos o limite quando h→0. Como o termo h some, fica:
f'(x)=limhto0(2x+h+3)=2x+3

Passo 7

Concluímos que a derivada de f(x)=x²+3x é uma função linear 2x+3, o que faz sentido pois derivada de x² é 2x e derivada de 3x é 3.

Resposta

f'(x)=2x+3

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