Calcule f^prime(x), para f(x)=3 x-22 x+4 usando a definição de derivada.

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{3x-2}{2x+4}
usando a definição de derivada (limite do quociente incremental). Vamos precisar aplicar
f'(x)=limh to 0f(x+h)-f(x)h
o que exige expressar f(x+h) e simplificar a diferença.

Passo 2

Começando pela definição, temos:
f'(x)=limh to 01hl(3(x+h)-22(x+h)+4-3x-22x+4r)
Note que
f(x+h)=3x+3h-22x+2h+4,
então o numerador do quociente é a diferença entre essas duas frações.

Passo 3

Para subtrair as frações, usamos denominador comum:
3x+3h-22x+2h+4-3x-22x+4 =(3x+3h-2)(2x+4)-(3x-2)(2x+2h+4)(2x+2h+4)(2x+4)
Ao expandir e simplificar o numerador, obtemos 16h, de modo que o quociente inteiro vira
1hcdot16h(2x+2h+4)(2x+4) =16(2x+2h+4)(2x+4)

Passo 4

Agora é só tomar o limite h→0:
f'(x)=limh to 016(2x+2h+4)(2x+4) =16(2x+4)^2
Podemos ainda notar que 2x+4=2(x+2), então
f'(x)=164(x+2)^2=4(x+2)^2

Resposta

f’(x)=\frac{4}{(x+2)^2}

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