Calcule a integral de superfície integralegral duplaS f d S, onde a superfície S e a função escalar são dados por:
f(x, y, z)=x^2 z+y^2 z e S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=4, z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
integral duplaSf,dS
onde f(x,y,z)=x^2z+y^2z e S é o hemisfério de raio 2 dado por x^2+y^2+z^2=4, z>=0.
O conteúdo envolve parametrização de superfícies (coordenadas esféricas) e cálculo de integrais duplas.

Passo 2

Parametrizamos o hemisfério em coordenadas esféricas (raio R=2, ângulo polar phi de 0 a pi/2, azimute theta de 0 a 2pi):
boldsymbol r(phi,theta) = l(2sinphicostheta,;2sinphisintheta,;2cosphir),
com 0<=phi<=pi/2, 0<=theta<=2pi.

Passo 3

Expressamos f em (phi,theta). Note que
x^2+y^2 =(2sinphi)^2 =4sin^2phi, z=2cosphi,
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f(x,y,z) =(x^2+y^2),z =4sin^2phicdot2cosphi =8sin^2phicosphi

Passo 4

O elemento de área na esfera de raio 2 é
dS =R^2sinphi,dphi,dtheta =4sinphi,dphi,dtheta
Portanto
f,dS =8sin^2phicosphi;times;4sinphi,dphi,dtheta =32sin^3phicosphi,dphi,dtheta

Passo 5

Assim a integral fica
integral duplaSf,dS =integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/2 32sin^3phicosphi ,dphi,dtheta =2picdot32 integral0^pi/2sin^3phicosphi,dphi =64pi integral0^pi/2sin^3phicosphi,dphi

Passo 6

Para a integral em phi usamos u=sinphi, du=cosphi,dphi. Os limites vão de u(0)=0 a u(pi/2)=1, então
integral0^pi/2sin^3phicosphi,dphi =integral0^1u^3,du =14
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integral duplaSf,dS =64picdot14 =16pi

Resposta

16pi

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