Calcule a derivada de:
f(x)=x^2raiz1-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a derivada de $ f(x) = \frac{x{2}}{\sqrt{1-x{2}}} $. Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções que são frações e também como lidar com raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que $ \sqrt{1 - x^{2}} $ é igual a $ (1 - x{2}){\frac{1}{2}} $. Então, nossa função fica:
raiz1 - x^2

Passo 3

Agora, para derivar essa função que é um quociente, podemos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função $ \frac{u}{v} $, a derivada é:
uv
Onde $ u = x^{2} $ e $ v = (1 - x{2}){\frac{1}{2}} $.

Passo 4

Vamos calcular $ u’ $ e $ v’ $.
Primeiro, $ u = x^{2} $:
u'
Agora, $ v = (1 - x{2}){\frac{1}{2}} $. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ (g(x))^{n} $ é $ n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g’(x) $.
Então,
v'

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente:
f'(x) = u'v - uv'v^2
Substituindo os valores que encontramos:
f'(x) = (2x)(1 - x^2)^12 - (x^2)(-x)(1 - x^2)^-12(1 - x^2)

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, multiplicamos os termos no numerador:
f'(x) = 2x(1 - x^2)^12 + x^3(1 - x^2)^-12(1 - x^2)
Podemos fatorar $ x(1 - x{2}){-\frac{1}{2}} $ do numerador:
x(1 - x^2)^-12
Simplificando dentro dos colchetes:
f'(x) = x(1 - x^2)^-12[2(1 - x^2) + x^2](1 - x^2)
Então,
2(1 - x^2) + x^2 = 2 - 2x^2 + x^2 = 2 - x^2

Resposta

A derivada de $ f(x) = \frac{x{2}}{\sqrt{1-x{2}}} $ é:
f(x) = x^2raiz1-x^2

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