Calcule a derivada de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a derivada de $ f(x) = \frac{x{2}}{\sqrt{1-x{2}}} $. Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções que são frações e também como lidar com raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que $ \sqrt{1 - x^{2}} $ é igual a $ (1 - x{2}){\frac{1}{2}} $. Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, para derivar essa função que é um quociente, podemos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função $ \frac{u}{v} $, a derivada é:
Onde $ u = x^{2} $ e $ v = (1 - x{2}){\frac{1}{2}} $.
Passo 4
Vamos calcular $ u’ $ e $ v’ $.
Primeiro, $ u = x^{2} $:
Agora, $ v = (1 - x{2}){\frac{1}{2}} $. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ (g(x))^{n} $ é $ n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g’(x) $.
Então,
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, multiplicamos os termos no numerador:
Podemos fatorar $ x(1 - x{2}){-\frac{1}{2}} $ do numerador:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então,
Resposta
A derivada de $ f(x) = \frac{x{2}}{\sqrt{1-x{2}}} $ é: