Determine a primitiva de cada função:
g(x)=(raizx+1)(x-raizx+1)

Passo 1

Temos que achar uma primitiva de g(x)=(raizx+1)(x-raizx+1). Esse assunto é integração de funções polinomiais com expoentes fracionários, então a ideia é expandir o produto, simplificar e depois usar a regra de potência para integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos raizx como x^1/2 e expandimos:
(x^1/2 + 1)(x - x^1/2 + 1) = x^1/2cdot x - x^1/2cdot x^1/2 + x^1/2cdot 1 + 1cdot x - 1cdot x^1/2 + 1cdot 1
= x^3/2 - x + x^1/2 + x - x^1/2 + 1
Cancelando termos semelhantes, sobra x^3/2 + 1.

Passo 3

Agora aplicamos a integração termo a termo:
integral (x^3/2 + 1),dx = integral x^3/2,dx + integral 1,dx = x^5/2tfrac52 + x = 25x^5/2 + x

Passo 4

Por fim, adicionamos a constante de integração C, chegando à primitiva geral.

Resposta

25x^5/2 + x + C

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