sumn=1^+infty n alpha^n em que alpha>0 é um real dado

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série sumn=1^+inftyn,alpha^n. O conteúdo principal é séries de potências e vamos usar a técnica de derivar a soma de uma série geométrica para incluir o fator n.

Passo 2

A gente lembra da soma da série geométrica para |alpha|<1:

Passo 3

Para trazer o fator n, derivamos ambos os lados dessa igualdade em relação a alpha. Do lado esquerdo temos

e do direito aplicamos a derivada:

Passo 4

Agora multiplicamos ambos os lados por alpha para converter alpha^n-1 em alpha^n. Isso dá

Resposta

sumn=1^+inftyn,alpha^n=alpha(1-alpha)^2, válido para 0 (para alpha>=1 a série diverge).

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