Calcule a derivada de:
f(x)=3 x^4e^x+sin (x)x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=3x^4e^x+sin(x)x
Vamos usar as seguintes ferramentas de cálculo de derivadas:
  1. Regra do produto e derivada de exponencial para o termo tfrac3x^4e^x.
  2. Regra do quociente (ou, equivalente, produto com x^-1) para o termo tfracsin(x)x.

Passo 2

Reescrevemos o primeiro termo como
f1(x)=3x^4e^-x
Aqui aplicamos a regra do produto com u(x)=3x^4 e v(x)=e^-x. Calculamos
u'(x)=12x^3, v'(x)=-e^-x
Logo,
f1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =12x^3e^-x+3x^4(-e^-x) =e^-xl(12x^3-3x^4r)

Passo 3

Para o segundo termo, definimos
g(x)=sin(x)x=sin(x),x^-1
Usamos a regra do produto com a(x)=sin(x) e b(x)=x^-1. Então
a'(x)=cos(x), b'(x)=-x^-2,
e
g'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x) =cos(x),x^-1+sin(x),(-x^-2) =cos(x)x-sin(x)x^2

Passo 4

Somando as derivadas de f1 e de g, obtemos
f'(x) =e^-xl(12x^3-3x^4r) +cos(x)x-sin(x)x^2
Podemos ainda fatorar 3x^3e^-x no primeiro termo:
e^-xl(12x^3-3x^4r) =3x^3e^-x(4 - x)

Resposta

f'(x) =3x^3e^-x(4 - x) +cos(x)x -sin(x)x^2

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