Calcule a derivada de:
f(x)=sin (x) cotan(x)-sin (c) cos (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=sin(x),cot(x)-sin(c),cos(x),
onde c é constante. Para isso vamos usar as regras de derivação de funções trigonométricas, o produto de funções e a linearidade da derivada.

Passo 2

Derivando o termo sin(x),cot(x) pelo produto, temos u=sin(x) e v=cot(x), com
u'=cos(x), v'=-csc^2(x)
Logo,
ddxl[sin(x),cot(x)r] =cos(x),cot(x)-sin(x),csc^2(x)

Passo 3

Simplificamos usando cot(x)=cos(x)sin(x) e csc^2(x)=1sin^2(x):
cos(x),cos(x)sin(x)-sin(x),1sin^2(x) =cos^2(x)-1sin(x) =-sin^2(x)sin(x) =-sin(x)

Passo 4

Agora derivamos o termo -sin(c),cos(x). Como sin(c) é constante,
ddxl[-sin(c),cos(x)r] =-sin(c)l(-sin(x)r) =sin(c),sin(x)

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
f'(x)=-sin(x)+sin(c),sin(x) =sin(x)l(sin(c)-1r)

Resposta

f'(x)=sin(x)l(sin(c)-1r)

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