Encontre a derivada das funções dadas.
(16) f(x)=tg raizx+arccos x(x-1) sec ^3 4 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=tanl(raizxr);+;arccos(x)(x-1),sec^3l(4xr)
Aqui usamos: derivada de tan(u) pela regra da cadeia, derivada de raizx, derivada de arccos(x), e para o segundo termo a regra do quociente, junto com derivada de sec^3(4x) via produto/regra da cadeia.

Passo 2

Derivada da primeira parcela tanl(raizxr):
seja u(x)=raizx=x^1/2, então
u'(x)=12raizx, ddxtan(u)=sec^2(u),u'
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ddxtanl(raizxr) =sec^2l(raizxr),12raizx

Passo 3

Para a segunda parcela use a regra do quociente em
g(x)=arccos(x), h(x)=(x-1),sec^3l(4xr)
Calculamos
g'(x)=-1raiz1-x^2,
e
sec^3l(4xr)';=;3,sec^2(4x)cdotl[sec(4x)tan(4x)cdot4r] ;=;12,sec^3(4x),tan(4x)
Então, por produto,
h'(x)=1cdotsec^3(4x)+(x-1)cdot12,sec^3(4x),tan(4x) =sec^3(4x)l[1+12(x-1)tan(4x)r]

Passo 4

Aplicando a regra do quociente
ddxgh =g',h-g,h'h^2,
obtemos para a segunda parcela
ddxarccos(x)(x-1)sec^3(4x) = -1raiz1-x^2,(x-1)sec^3(4x) ;-;arccos(x),sec^3(4x)l[1+12(x-1)tan(4x)r] l[(x-1)sec^3(4x)r]^2

Passo 5

Fatorando sec^3(4x) no numerador e reduzindo com o quadrado no denominador sec^6(4x), ficamos com
ddxarccos(x)(x-1)sec^3(4x) = -,x-1raiz1-x^2 ;-;arccos(x)l[1+12(x-1)tan(4x)r] (x-1)^2,sec^3(4x)
Somando com a derivada da primeira parcela, a derivada final é:

Resposta

f'(x) =sec^2l(raizxr)2raizx ;-; x-1raiz1-x^2 ;+;arccos(x)l[1+12(x-1)tan(4x)r] (x-1)^2,sec^3(4x)

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