Calcule a derivada de:
f(x)=x^3 sin (x) e^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^3sin(x)e^x
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto para três funções, além das derivadas de sin(x) e de e^x.

Passo 2

Vamos chamar
u(x)=x^3, v(x)=sin(x), w(x)=e^x
A regra do produto para três fatores diz que
(u,v,w)' = u',v,w ;+; u,v',w ;+; u,v,w'

Passo 3

Primeiro, calcule as derivadas individuais:
u'(x)=3x^2, v'(x)=cos(x), w'(x)=e^x
Substituindo na regra do produto, obtemos
f'(x)=3x^2sin(x)e^x ;+; x^3cos(x)e^x ;+; x^3sin(x)e^x

Passo 4

Observe que todos os termos têm fator comum e^x. Fatorando e^x, vem
f'(x)=e^xl(3x^2sin(x)+x^3cos(x)+x^3sin(x)r)
Podemos ainda extrair x^2:
f'(x)=x^2e^xl(3sin(x)+xcos(x)+xsin(x)r),
e reagrupar para uma forma mais elegante:
f'(x)=x^2e^xl(x(cos(x)+sin(x))+3sin(x)r)

Resposta

f'(x)=x^2e^xl(x(cos(x)+sin(x))+3sin(x)r)

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