Calcule a derivada:
f(x)=x^alpha cdot e^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^alpha ,e^x,
portanto vamos usar a regra do produto para derivadas, a regra da potência para x^alpha e a derivada da exponencial.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^alpha, v(x)=e^x
A regra do produto diz que
f'(x)=l(u(x),v(x)r)'=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Para isso precisamos de
u'(x)=ddxl(x^alphar)=alpha,x^alpha-1, v'(x)=ddxl(e^xr)=e^x

Passo 3

Substituindo na regra do produto, obtemos
f'(x) =alpha,x^alpha-1e^x +x^alphae^x

Passo 4

Para simplificar, fatoramos x^alpha-1e^x:
f'(x) =x^alpha-1e^xl(alpha+xr)

Resposta

f'(x)=x^alpha-1e^xl(alpha+xr)

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