Nos Exercícios de 9 a 22, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty e^tg^-1 nn^2+1

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty e^arctan(n)n^2+1
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Como todos os termos são positivos, podemos usar um teste de comparação com uma série p-série.

Passo 2

Observamos que
arctan(n)to tfracpi2 quando ntoinfty, logo
e^arctan(n)to e^pi/2.
Isso sugere que, para n grande,
e^arctan(n)n^2+1 sim e^pi/2n^2

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação por limite com a série
sum 1/n^2, que é convergente ( p=2>1). Calculamos
limntoinfty e^arctan(n)n^2+11n^2 =limntoinftye^arctan(n)cdotn^2n^2+1 = e^pi/2in(0,infty)
Como esse limite é finito e estritamente positivo, ambas as séries têm o mesmo comportamento.

Passo 4

Sabendo que sum 1/n^2 converge, concluímos que
sumn=1^infty e^arctan(n)n^2+1 também converge.

Resposta

A série é convergente.

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