Questão 2 [exu-2]. Considere o problema de valor inicial
Entre as opções a seguir, qual delas contém apenas pontos onde se pode garantir a existéncia de uma única solução
do problema de valor inicial?
D $\left{(t, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid t \in(-5,-4)\right.
e
.
d]
.
b) $\left{(t, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid t \in(-1,0)\right.
e
.
(e) $\left{(t, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid t \in[-1,5)\right.
e
.
c $\left{(t, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid t \in(-2,5)\right.
e
.
(f) $\left{(t, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid t \in(-\infty, 1)\right.
e
.
D $\left{(t, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid t \in(-5,-4)\right.
e
d]
b) $\left{(t, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid t \in(-1,0)\right.
e
(e) $\left{(t, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid t \in[-1,5)\right.
e
c $\left{(t, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid t \in(-2,5)\right.
e
(f) $\left{(t, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid t \in(-\infty, 1)\right.
e
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede um conjunto de pontos em que se pode garantir existência e unicidade da solução. Vamos usar o Teorema de Picard–Lindel"of, que exige que
e
sejam contínuas na vizinhança do ponto inicial.
Passo 2
Para que
seja bem definida e contínua precisamos de
.
existir
.
. Denominador não nulo
e
.
Além disso,
Além disso,
também exige
e
. Logo, o domínio de continuidade para garantir unicidade é
Passo 3
Analisando as opções:
- D:
e . Esse intervalo de não contém nem , e exige . Está totalmente dentro do domínio seguro. - d:
e inclui , onde o denominador anula. inválido. - b:
e permite , onde não existe. inválido. - e:
e inclui e . inválido. - c:
e inclui e . inválido. - f:
e inclui e . inválido.
Passo 4
Somente a opção D permanece inteiramente dentro do domínio onde
e
são contínuas.
Resposta
D
.