Questão 2 [exu-2]. Considere o problema de valor inicial
Entre as opções a seguir, qual delas contém apenas pontos onde se pode garantir a existéncia de uma única solução do problema de valor inicial?
D $\left{(t, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid t \in(-5,-4)\right.
e .
d] .
b) $\left{(t, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid t \in(-1,0)\right.
e .
(e) $\left{(t, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid t \in[-1,5)\right.
e .
c $\left{(t, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid t \in(-2,5)\right.
e .
(f) $\left{(t, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid t \in(-\infty, 1)\right.
e .

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
dydt=f(t,y)=(t-5)ln(y)(t+1)(t+3), y(t0)=y0,
e pede um conjunto de pontos em que se pode garantir existência e unicidade da solução. Vamos usar o Teorema de Picard–Lindel"of, que exige que f e partial f/partial y sejam contínuas na vizinhança do ponto inicial.

Passo 2

Para que f seja bem definida e contínua precisamos de
1. ln(y) existir Rightarrow y>0.
2. Denominador não nulo Rightarrow tneq -1 e tneq -3.
Além disso,
partial fpartial y =t-5(t+1)(t+3)cdot1y
também exige y>0 e tneq -1,-3. Logo, o domínio de continuidade para garantir unicidade é
(t,y)mid y>0,;tneq -1,;tneq -3

Passo 3

Analisando as opções:
  • D: tin(-5,-4) e y>0. Esse intervalo de t não contém -3 nem -1, e exige y>0. Está totalmente dentro do domínio seguro.
  • d: tin(-infty,-2) e y>0 inclui t=-3, onde o denominador anula. to inválido.
  • b: tin(-1,0) e yinR permite y<=0, onde ln(y) não existe. to inválido.
  • e: tin[-1,5) e yinR inclui t=-1 e y<=0. to inválido.
  • c: tin(-2,5) e y>=0 inclui t=-1 e y=0. to inválido.
  • f: tin(-infty,1) e y>0 inclui t=-3 e t=-1. to inválido.

Passo 4

Somente a opção D permanece inteiramente dentro do domínio onde f e partial f/partial y são contínuas.

Resposta

D (t,y)inR^2mid tin(-5,-4),;y>0.

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