Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é o produto de duas funções: uma função linear
e a função trigonométrica . - O que nos pedem é
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Vamos identificar as duas funções que aparecem no produto. Definimos
Aqui
e
são funções de
. Quando temos um produto
, usamos a regra do produto para derivar. A regra do produto diz:
Explicando essa fórmula:
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
. A derivada do produto não é o produto das derivadas — é a soma de dois termos como na fórmula acima.
Passo 3
Calculemos
. Para
, usamos a regra básica da derivada de uma função linear
, cuja derivada é
. Assim
Explicando: a derivada de
é
, e multiplicando pelo coeficiente
obtemos
.
Passo 4
Agora precisamos de
para
. Aqui usamos a regra da cadeia, porque
é a composição da função
com a função
. A regra da cadeia afirma que, para
,
No nosso caso
e
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Portanto
e substituindo
obtemos
. A derivada de
é
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto com os resultados
,
,
e
. Pela fórmula
Substituindo:
Fazendo a multiplicação no segundo termo:
Podemos também fatorar
se quisermos uma forma alternativa: