Calcule a derivada de: f(x)=(3 x) \cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=(3x)\cos 2x.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é o produto de duas funções: uma função linear 3x e a função trigonométrica \cos 2x.
  • O que nos pedem é f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Vamos identificar as duas funções que aparecem no produto. Definimos
u(x)=3x,\qquad v(x)=\cos 2x.
Aqui u e v são funções de x. Quando temos um produto u(x)\,v(x), usamos a regra do produto para derivar. A regra do produto diz:
(u\cdot v)' = u'\cdot v + u\cdot v'.
Explicando essa fórmula: u' é a derivada de u em relação a x e v' é a derivada de v em relação a x. A derivada do produto não é o produto das derivadas — é a soma de dois termos como na fórmula acima.

Passo 3

Calculemos u'(x). Para u(x)=3x, usamos a regra básica da derivada de uma função linear ax, cuja derivada é a. Assim
u'(x)=3.
Explicando: a derivada de x é 1, e multiplicando pelo coeficiente 3 obtemos 3.

Passo 4

Agora precisamos de v'(x) para v(x)=\cos 2x. Aqui usamos a regra da cadeia, porque \cos 2x é a composição da função g(t)=\cos t com a função h(x)=2x. A regra da cadeia afirma que, para v(x)=g(h(x)),
v'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
No nosso caso g(t)=\cos t e h(x)=2x. Sabemos que a derivada de \cos t em relação a t é -\sin t. Portanto
g'(t)=-\sin t,
e substituindo t=h(x)=2x obtemos g'(h(x))=-\sin(2x). A derivada de h(x)=2x é
h'(x)=2.
Aplicando a regra da cadeia:
v'(x)=(-\sin(2x))\cdot 2 = -2\sin(2x).

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto com os resultados u'(x)=3, u(x)=3x, v(x)=\cos 2x e v'(x)=-2\sin 2x. Pela fórmula
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
f'(x)=3\cdot\cos 2x + (3x)\cdot(-2\sin 2x).
Fazendo a multiplicação no segundo termo:
f'(x)=3\cos 2x -6x\sin 2x.
Podemos também fatorar 3 se quisermos uma forma alternativa:
f'(x)=3\bigl(\cos 2x -2x\sin 2x\bigr).

Resposta

f'(x)=3\cos 2x-6x\sin 2x

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