Calcule a derivada de: f(x)=\log _{5}\left(3 x^{2}+e^{4 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\log_{5}\bigl(3x^{2}+e^{4x}\bigr).
Informações dadas:
\,f(x) é um logaritmo de base 5 aplicado à expressão \,3x^{2}+e^{4x}.
A tarefa é encontrar f'(x), ou seja, a derivada em relação a x.

Passo 2

Regra útil (que vou usar): a derivada do logaritmo de base a de uma função u(x) é
\frac{d}{dx}\log_{a}\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln a}.
Explicação didática: podemos transformar o logaritmo de base a em logaritmo natural:
\log_{a}\bigl(u(x)\bigr)=\frac{\ln\bigl(u(x)\bigr)}{\ln a}.
Aqui \ln a é constante (porque a é constante), então a derivada é
\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr).
E sabemos que a derivada de \ln\bigl(u(x)\bigr) é \dfrac{u'(x)}{u(x)} (essa é a forma mais básica da regra da cadeia aplicada ao log natural). Juntando tudo vem a fórmula acima.
Exemplo curto para fixar: para g(x)=\log_{5}x a fórmula dá
g'(x)=\frac{1}{x\ln 5},
o que é intuitivo: é o caso u(x)=x.

Passo 3

Identifico a função interna (argumento do log):
u(x)=3x^{2}+e^{4x}.
Agora preciso calcular u'(x). Vou derivar termo a termo.
Derivada do primeiro termo: \dfrac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot 2x=6x.
Derivada do segundo termo: \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{4x}\bigr).
Aqui uso a regra da cadeia: se h(x)=e^{v(x)}, então h'(x)=v'(x)e^{v(x)}.
Tomando v(x)=4x temos v'(x)=4. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(e^{4x}\bigr)=4e^{4x}.

Passo 4

Somando as derivadas dos termos, obtemos
u'(x)=6x+4e^{4x}.
Repito: isso veio de somar 6x (derivada de 3x^2) com 4e^{4x} (derivada de e^{4x}).

Passo 5

Agora aplico a fórmula da derivada do logaritmo de base 5:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln 5}.
Substituindo u(x) e u'(x) encontrados:
f'(x)=\frac{6x+4e^{4x}}{\bigl(3x^{2}+e^{4x}\bigr)\,\ln 5}.

Passo 6

Podemos, se quisermos, fazer uma pequena simplificação por fator comum: os termos do numerador têm fator 2, então
f'(x)=\frac{2\bigl(3x+2e^{4x}\bigr)}{\bigl(3x^{2}+e^{4x}\bigr)\,\ln 5}.
Essa forma não é mais “correta” que a anterior; é só uma versão factorizada que às vezes fica mais bonita.

Passo 7

Resumo do raciocínio para a hora da prova (dicas rápidas):
  • Transforme \log_{a} em \dfrac{\ln}{\ln a} se tiver dúvida.
  • Derive o argumento com calma: derive termo a termo.
  • Use regra da cadeia para e^{4x} (derivada é 4e^{4x}).
  • Coloque tudo na fórmula \dfrac{u'}{u\ln a}.

Resposta

f'(x)=\frac{6x+4e^{4x}}{\bigl(3x^{2}+e^{4x}\bigr)\,\ln 5}

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