Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas:
é um logaritmo de base
aplicado à expressão
.
A tarefa é encontrar , ou seja, a derivada em relação a
.
A tarefa é encontrar
Passo 2
Regra útil (que vou usar): a derivada do logaritmo de base
de uma função
é
Explicação didática: podemos transformar o logaritmo de base
em logaritmo natural:
Aqui
é constante (porque
é constante), então a derivada é
E sabemos que a derivada de
é
(essa é a forma mais básica da regra da cadeia aplicada ao log natural). Juntando tudo vem a fórmula acima.
Exemplo curto para fixar: para
a fórmula dá
o que é intuitivo: é o caso
.
Passo 3
Identifico a função interna (argumento do log):
Agora preciso calcular
. Vou derivar termo a termo.
Derivada do primeiro termo:
.
Derivada do segundo termo:
.
Aqui uso a regra da cadeia: se , então
.
Tomando temos
. Logo
Aqui uso a regra da cadeia: se
Tomando
Passo 4
Somando as derivadas dos termos, obtemos
Repito: isso veio de somar
(derivada de
) com
(derivada de
).
Passo 5
Agora aplico a fórmula da derivada do logaritmo de base
:
Substituindo
e
encontrados:
Passo 6
Podemos, se quisermos, fazer uma pequena simplificação por fator comum: os termos do numerador têm fator
, então
Essa forma não é mais “correta” que a anterior; é só uma versão factorizada que às vezes fica mais bonita.
Passo 7
Resumo do raciocínio para a hora da prova (dicas rápidas):
- Transforme
em se tiver dúvida. - Derive o argumento com calma: derive termo a termo.
- Use regra da cadeia para
(derivada é ). - Coloque tudo na fórmula
.