Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
A tarefa é encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Vamos usar a regra do produto, porque
é produto de duas funções. A regra do produto diz o seguinte:
Se
e
são funções diferenciáveis, então
Explicando as notações:
é a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
em relação a
. A regra é direta: derivamos a primeira e multiplicamos pela segunda, depois somamos a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
Passo 3
Antes de aplicar a regra do produto, precisamos saber como derivar cada fator.
Para
usamos a regra da potência e a linearidade:
A regra da potência diz que
A regra da potência diz que
para
real. Como
, pela linearidade da derivada multiplicamos por
.
Logo,
Logo,
Passo 4
Agora derivamos
. Aqui usamos a regra da cadeia porque
é uma composição:
definimos e
, então
.
A regra da cadeia diz
definimos
A regra da cadeia diz
Para
temos
. Para
temos
.
Aplicando:
Aplicando:
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto com os
que encontramos.
Substituindo:
Multiplicando o segundo termo:
Podemos também fatorar
se quisermos uma forma mais compacta: