Calcule a derivada de: f(x)=\left(3 x^{2}\right) \operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=(3x^{2})\operatorname{sen}2x.
Informações relevantes dadas:
\text{(i) } f(x)\text{ é o produto de duas funções: }u(x)=3x^{2}\text{ e }v(x)=\operatorname{sen}2x.éçõ
\text{(ii) } \operatorname{sen}2x\text{ é o mesmo que }\sin(2x).é
A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto, porque f é produto de duas funções. A regra do produto diz o seguinte:
Se \;u(x) e \;v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando as notações: u'(x) é a derivada de u em relação a x, e v'(x) é a derivada de v em relação a x. A regra é direta: derivamos a primeira e multiplicamos pela segunda, depois somamos a primeira multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 3

Antes de aplicar a regra do produto, precisamos saber como derivar cada fator.
Para u(x)=3x^{2} usamos a regra da potência e a linearidade:
A regra da potência diz que
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1},
para n real. Como 3x^{2}=3\cdot x^{2}, pela linearidade da derivada multiplicamos por 3.
Logo,
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2})=3\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=3\cdot 2x=6x.

Passo 4

Agora derivamos v(x)=\sin(2x). Aqui usamos a regra da cadeia porque \sin(2x) é uma composição:
definimos g(u)=\sin u e h(x)=2x, então v(x)=g(h(x)).
A regra da cadeia diz
\frac{d}{dx}g(h(x))=g'(h(x))\cdot h'(x).
Para g(u)=\sin u temos g'(u)=\cos u. Para h(x)=2x temos h'(x)=2.
Aplicando:
v'(x)=\frac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot 2=2\cos(2x).

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto com os u',u,v',v que encontramos.
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
f'(x)=(6x)\sin(2x)+(3x^{2})(2\cos(2x)).
Multiplicando o segundo termo:
f'(x)=6x\sin(2x)+6x^{2}\cos(2x).
Podemos também fatorar 6x se quisermos uma forma mais compacta:
f'(x)=6x\big(\sin(2x)+x\cos(2x)\big).

Resposta

f'(x)=6x\sin(2x)+6x^{2}\cos(2x)

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