Calcule a derivada de: f(x)=\frac{2 x^{3}-4 x^{2}}{3 x^{2}-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{2x^{3}-4x^{2}}{3x^{2}-2}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é dada como uma razão (fração) entre dois polinômios.
  • O numerador é 2x^{3}-4x^{2}.
  • O denominador é 3x^{2}-2.
  • A função não está definida quando o denominador é zero, ou seja quando 3x^{2}-2=0 (isso é só uma observação sobre o domínio, não resolvemos a derivada ainda).

Passo 2

Vamos lembrar a regra que vamos usar: quando temos uma função que é quociente de duas funções, u(x) e v(x), a derivada é dada pela regra do quociente. A fórmula é
\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{(v(x))^{2}}.
Explicando cada termo:
  • u(x) é o numerador da fração.
  • v(x) é o denominador da fração.
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
    Intuição curta: a fórmula combina a derivada do numerador e do denominador de forma a preservar a estrutura da fração; o denominador ao quadrado garante que o resultado esteja bem definido (exceto onde v(x)=0).
Também precisamos da regra de potência (power rule): para qualquer inteiro n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Essa regra nos permite derivar polinômios termo a termo.

Passo 3

Identificamos u e v e calculamos suas derivadas com a regra da potência:
u(x)=2x^{3}-4x^{2}, \qquad v(x)=3x^{2}-2.
Derivando termo a termo:
  • Para u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x^{3})-\frac{d}{dx}(4x^{2}).
Usando a regra da potência:
\frac{d}{dx}(2x^{3})=2\cdot 3x^{2}=6x^{2}, \qquad \frac{d}{dx}(4x^{2})=4\cdot 2x=8x.
Logo
u'(x)=6x^{2}-8x.
  • Para v(x):
v'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2})-\frac{d}{dx}(2).
\frac{d}{dx}(3x^{2})=3\cdot 2x=6x, \qquad \frac{d}{dx}(2)=0.
Logo
v'(x)=6x.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente substituindo u, v, u' e v':
f'(x)=\frac{(6x^{2}-8x)(3x^{2}-2)-(2x^{3}-4x^{2})(6x)}{(3x^{2}-2)^{2}}.
Agora vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo.

Passo 5

Calculamos separadamente os dois produtos que aparecem no numerador:
  1. Primeiro produto (6x^{2}-8x)(3x^{2}-2):
(6x^{2})(3x^{2})=18x^{4}, \qquad (6x^{2})(-2)=-12x^{2},
(-8x)(3x^{2})=-24x^{3}, \qquad (-8x)(-2)=16x.
Somando:
(6x^{2}-8x)(3x^{2}-2)=18x^{4}-24x^{3}-12x^{2}+16x.
  1. Segundo produto (2x^{3}-4x^{2})(6x):
    Distribuindo 6x:
(2x^{3})(6x)=12x^{4}, \qquad (-4x^{2})(6x)=-24x^{3}.
Logo
(2x^{3}-4x^{2})(6x)=12x^{4}-24x^{3}.
Agora subtraímos o segundo do primeiro (conforme a fórmula u'v-uv'):
\begin{aligned} &\bigl(18x^{4}-24x^{3}-12x^{2}+16x\bigr)-\bigl(12x^{4}-24x^{3}\bigr)\\\ &=18x^{4}-24x^{3}-12x^{2}+16x-12x^{4}+24x^{3}. \end{aligned}
Observe que os termos em x^{3} se cancelam: -24x^{3}+24x^{3}=0.

Passo 6

Continuando a simplificação dos termos semelhantes:
18x^{4}-12x^{4}=6x^{4},
então o numerador fica
6x^{4}-12x^{2}+16x.
Podemos fatorar o máximo fator comum para simplificar a aparência. Todos os termos têm um fator 2x em comum (repare que todos têm pelo menos um x e também são pares), então:
6x^{4}-12x^{2}+16x=2x\bigl(3x^{3}-6x+8\bigr).
Portanto a derivada pode ser escrita como
f'(x)=\frac{2x\bigl(3x^{3}-6x+8\bigr)}{(3x^{2}-2)^{2}}.
Lembre-se de que essa expressão está válida apenas onde o denominador original é diferente de zero, isto é, onde 3x^{2}-2\neq 0.

Passo 7

Resumo final e forma mais compacta da derivada (já simplificada por fator comum):
f'(x)=\frac{2x\bigl(3x^{3}-6x+8\bigr)}{(3x^{2}-2)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2x\bigl(3x^{3}-6x+8\bigr)}{(3x^{2}-2)^{2}}

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