Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações imediatas:
- A função é dada como uma razão (fração) entre dois polinômios.
- O numerador é
. - O denominador é
. - A função não está definida quando o denominador é zero, ou seja quando
(isso é só uma observação sobre o domínio, não resolvemos a derivada ainda).
Passo 2
Vamos lembrar a regra que vamos usar: quando temos uma função que é quociente de duas funções,
e
, a derivada é dada pela regra do quociente. A fórmula é
Explicando cada termo:
-
é o numerador da fração. -
é o denominador da fração. -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a .
Intuição curta: a fórmula combina a derivada do numerador e do denominador de forma a preservar a estrutura da fração; o denominador ao quadrado garante que o resultado esteja bem definido (exceto onde).
Também precisamos da regra de potência (power rule): para qualquer inteiro
,
Essa regra nos permite derivar polinômios termo a termo.
Passo 3
Identificamos
e
e calculamos suas derivadas com a regra da potência:
Derivando termo a termo:
- Para
:
Usando a regra da potência:
Logo
- Para
:
Logo
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente substituindo
,
,
e
:
Agora vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo.
Passo 5
Calculamos separadamente os dois produtos que aparecem no numerador:
- Primeiro produto
:
Somando:
- Segundo produto
:
Distribuindo:
Logo
Agora subtraímos o segundo do primeiro (conforme a fórmula
):
Observe que os termos em
se cancelam:
.
Passo 6
Continuando a simplificação dos termos semelhantes:
então o numerador fica
Podemos fatorar o máximo fator comum para simplificar a aparência. Todos os termos têm um fator
em comum (repare que todos têm pelo menos um
e também são pares), então:
Portanto a derivada pode ser escrita como
Lembre-se de que essa expressão está válida apenas onde o denominador original é diferente de zero, isto é, onde
.
Passo 7
Resumo final e forma mais compacta da derivada (já simplificada por fator comum):