Calcule a derivada de: f(x)=\left(2 x^{3}-4 x^{2}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\bigl(2x^{3}-4x^{2}\bigr)^{3} e pede explicitamente para calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes:
\text{Dada: }f(x)=\bigl(2x^{3}-4x^{2}\bigr)^{3}.
\text{Procurar: }f'(x).

Passo 2

Vamos identificar a estrutura da função para saber como derivar sem pular etapas. Observa que f(x) é uma composição de duas funções: uma função interna u(x)=2x^{3}-4x^{2} e uma função externa que eleva ao cubo g(u)=u^{3}. Quando temos uma composição f(x)=g(u(x)), a regra que usamos é a regra da cadeia, que diz:
\text{Se }f(x)=g(u(x))\text{ então }f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).ã
Aqui:
u(x)=2x^{3}-4x^{2},\qquad g(u)=u^{3}.

Passo 3

Derive passo a passo cada parte necessária.
Primeiro, derive a função externa g(u)=u^{3}. Aplicando a regra do poder (power rule), que diz que \dfrac{d}{du}u^{n}=n u^{n-1}, temos:
g'(u)=3u^{2}.
Segundo, derive a função interna u(x)=2x^{3}-4x^{2}. Use a linearidade da derivada (derivada da soma é soma das derivadas) e a regra do poder junto com a regra do constante multiplicativa (derivada de c\cdot h(x) é c\cdot h'(x)):
Derivada de 2x^{3} é 2\cdot 3x^{2}=6x^{2}.
Derivada de -4x^{2} é -4\cdot 2x=-8x.
Portanto:
u'(x)=6x^{2}-8x.
Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=3\bigl(u(x)\bigr)^{2}\cdot\bigl(6x^{2}-8x\bigr).
Substituindo u(x)=2x^{3}-4x^{2}, obtemos uma forma explícita:
\boxed{\,f'(x)=3\bigl(2x^{3}-4x^{2}\bigr)^{2}\bigl(6x^{2}-8x\bigr)\,}

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão para um formato mais limpo e fatorado, explicando cada fator.
Observe que podemos fatorar 2x^{3}-4x^{2} como 2x^{2}(x-2), porque:
2x^{3}-4x^{2}=2x^{2}(x-2).
Elevando ao quadrado:
\bigl(2x^{3}-4x^{2}\bigr)^{2}=\bigl(2x^{2}(x-2)\bigr)^{2}=4x^{4}(x-2)^{2}.
Também fatoramos 6x^{2}-8x como 2x(3x-4), porque:
6x^{2}-8x=2x(3x-4).
Substituindo essas fatorações em f'(x):
f'(x)=3\cdot\bigl(4x^{4}(x-2)^{2}\bigr)\cdot\bigl(2x(3x-4)\bigr).
Multiplicando as constantes e os fatores em x:
constantes: 3\cdot 4\cdot 2=24.
potências de x: x^{4}\cdot x=x^{5}.
Logo:
\boxed{\,f'(x)=24x^{5}(x-2)^{2}(3x-4)\,}

Resposta

f'(x)=3\bigl(2x^{3}-4x^{2}\bigr)^{2}\bigl(6x^{2}-8x\bigr)=24x^{5}(x-2)^{2}(3x-4)

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