Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede explicitamente para calcular a derivada
.
Informações relevantes:
Passo 2
Vamos identificar a estrutura da função para saber como derivar sem pular etapas. Observa que
é uma composição de duas funções: uma função interna
e uma função externa que eleva ao cubo
. Quando temos uma composição
, a regra que usamos é a regra da cadeia, que diz:
Aqui:
Passo 3
Derive passo a passo cada parte necessária.
Primeiro, derive a função externa
. Aplicando a regra do poder (power rule), que diz que
, temos:
Segundo, derive a função interna
. Use a linearidade da derivada (derivada da soma é soma das derivadas) e a regra do poder junto com a regra do constante multiplicativa (derivada de
é
):
Derivada de
é
.
Derivada de é
.
Derivada de
Portanto:
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo
, obtemos uma forma explícita:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão para um formato mais limpo e fatorado, explicando cada fator.
Observe que podemos fatorar
como
, porque:
Elevando ao quadrado:
Também fatoramos
como
, porque:
Substituindo essas fatorações em
:
Multiplicando as constantes e os fatores em
:
constantes: .
potências de :
.
constantes:
potências de
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