Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
Informações dadas:
e a tarefa é encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Para derivar
quando ela é produto de duas funções
e
, usamos a regra do produto. A regra do produto diz:
Explicando:
é a derivada de
e
é a derivada de
. A fórmula significa que derivamos uma função mantendo a outra, somando ao contrário (derivamos a outra mantendo a primeira). É uma consequência da definição de derivada, mas na prova você só precisa lembrar dessa fórmula e saber aplicá-la.
Também preciso lembrar a regra de potência para polinômios: se
com
constante e
inteiro, então
Aqui
é o coeficiente e
o expoente; aplicamos isso termo a termo em somas.
Passo 3
Calculo as derivadas de
e
usando a regra de potência termo a termo.
Para
:
Expliquei: derivei
como
e
como
.
Para
:
Expliquei: constante
tem derivada
.
Passo 4
Aplico a regra do produto substituindo
,
,
e
:
Substituindo:
Passo 5
Agora eu expando cada produto cuidadosamente (distribuição):
Primeiro termo:
Calculo cada pedaço:
Logo o primeiro produto é
Segundo termo:
Calculo:
Logo o segundo produto é
Passo 6
Somando os dois resultados e coletando termos semelhantes:
Agrupando potências iguais:
e os outros termos permanecem
e
. Assim
Passo 7
Posso ainda fatorar um fator comum para deixar mais compacto. Notando que todos os coeficientes têm 4 como divisor comum e todos os termos possuem pelo menos uma potência
, tiro
:
Isso não é obrigatório, mas às vezes facilita ver zeros óbvios ou simplificar cálculos.