Calcule a derivada de: f(x)=\left(2 x^{3}-4 x^{2}\right)\left(3 x^{5}+4\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
f(x)=\left(2x^{3}-4x^{2}\right)\left(3x^{5}+4\right).
Informações dadas:
u(x)=2x^{3}-4x^{2}\quad\text{e}\quad v(x)=3x^{5}+4,
e a tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Para derivar f(x) quando ela é produto de duas funções u(x) e v(x), usamos a regra do produto. A regra do produto diz:
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando: u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v. A fórmula significa que derivamos uma função mantendo a outra, somando ao contrário (derivamos a outra mantendo a primeira). É uma consequência da definição de derivada, mas na prova você só precisa lembrar dessa fórmula e saber aplicá-la.
Também preciso lembrar a regra de potência para polinômios: se g(x)=a x^{n} com a constante e n inteiro, então
g'(x)=a\cdot n\;x^{n-1}.
Aqui a é o coeficiente e n o expoente; aplicamos isso termo a termo em somas.

Passo 3

Calculo as derivadas de u(x) e v(x) usando a regra de potência termo a termo.
Para u(x)=2x^{3}-4x^{2}:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(2x^{3}\big)-\frac{d}{dx}\big(4x^{2}\big) =2\cdot 3\,x^{2}-4\cdot 2\,x^{1} =6x^{2}-8x.
Expliquei: derivei 2x^{3} como 2\cdot 3 x^{2} e 4x^{2} como 4\cdot 2 x^{1}.
Para v(x)=3x^{5}+4:
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(3x^{5}\big)+\frac{d}{dx}(4) =3\cdot 5\,x^{4}+0 =15x^{4}.
Expliquei: constante 4 tem derivada 0.

Passo 4

Aplico a regra do produto substituindo u, u', v e v':
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
f'(x)=(6x^{2}-8x)(3x^{5}+4)+(2x^{3}-4x^{2})(15x^{4}).

Passo 5

Agora eu expando cada produto cuidadosamente (distribuição):
Primeiro termo:
(6x^{2}-8x)(3x^{5}+4)=6x^{2}\cdot 3x^{5}+6x^{2}\cdot 4-8x\cdot 3x^{5}-8x\cdot 4.
Calculo cada pedaço:
6x^{2}\cdot 3x^{5}=18x^{7},\qquad 6x^{2}\cdot 4=24x^{2},
-8x\cdot 3x^{5}=-24x^{6},\qquad -8x\cdot 4=-32x.
Logo o primeiro produto é
18x^{7}-24x^{6}+24x^{2}-32x.
Segundo termo:
(2x^{3}-4x^{2})(15x^{4})=2x^{3}\cdot 15x^{4}-4x^{2}\cdot 15x^{4}.
Calculo:
2x^{3}\cdot 15x^{4}=30x^{7},\qquad -4x^{2}\cdot 15x^{4}=-60x^{6}.
Logo o segundo produto é
30x^{7}-60x^{6}.

Passo 6

Somando os dois resultados e coletando termos semelhantes:
f'(x)=(18x^{7}-24x^{6}+24x^{2}-32x)+(30x^{7}-60x^{6}).
Agrupando potências iguais:
x^{7}:\;18+30=48,\qquad x^{6}:\;-24-60=-84,
e os outros termos permanecem 24x^{2} e -32x. Assim
f'(x)=48x^{7}-84x^{6}+24x^{2}-32x.

Passo 7

Posso ainda fatorar um fator comum para deixar mais compacto. Notando que todos os coeficientes têm 4 como divisor comum e todos os termos possuem pelo menos uma potência x^{1}, tiro 4x:
f'(x)=4x\big(12x^{6}-21x^{5}+6x-8\big).
Isso não é obrigatório, mas às vezes facilita ver zeros óbvios ou simplificar cálculos.

Resposta

f'(x)=48x^{7}-84x^{6}+24x^{2}-32x

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