Calcule a derivada de: f(x)=x \sqrt[3]{3 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x \sqrt[3]{3 x^{2}}. Informações dadas e observações imediatas: a raiz cúbica está bem definida para todo x\in\mathbb{R}, ou seja, o domínio natural da função é todo o conjunto dos números reais. Vamos transformar a expressão para facilitar a diferenciação.

Passo 2

Reescrevendo a função usando potências racionais (uma dica poderosa para provas): lembre-se que \sqrt[3]{a} = a^{1/3} e que (ab)^{r}=a^{r}b^{r} quando faz sentido. Assim,
\sqrt[3]{3 x^{2}} = (3x^{2})^{1/3} = 3^{1/3}\,(x^{2})^{1/3}.
E (x^{2})^{1/3}=x^{2/3} (para potências racionais com denominador ímpar podemos manipular desta forma sem problemas). Portanto
f(x)=x\cdot 3^{1/3} x^{2/3}=3^{1/3} x^{1+2/3}=3^{1/3} x^{5/3}.
Esse passo simplifica muito a diferenciação: transformamos um produto com raiz em uma potência única.

Passo 3

Apresentando a regra que vamos usar (aula rápida): a regra da potência diz que, para qualquer real n, a derivada de x^{n} é
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui n=\tfrac{5}{3}. Além disso, se temos uma constante multiplicando a função, a derivada da constante vezes a função é essa constante vezes a derivada da função:
\frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x).
No nosso caso c=3^{1/3} e g(x)=x^{5/3}.

Passo 4

Aplicando a regra da potência:
\frac{d}{dx}x^{5/3}=\frac{5}{3}x^{5/3-1}=\frac{5}{3}x^{2/3}.
Multiplicando pela constante 3^{1/3} obtemos
f'(x)=3^{1/3}\cdot\frac{5}{3}x^{2/3}.
Agora simplificamos a constante:
3^{1/3}\cdot\frac{5}{3}=\frac{5}{3}3^{1/3}=5\cdot 3^{1/3-1}=5\cdot 3^{-2/3}=\frac{5}{3^{2/3}}.
Logo uma forma conveniente para a derivada é
f'(x)=\frac{5}{3^{2/3}}\,x^{2/3}.

Passo 5

Verificação alternativa (útil na prova): podemos usar regra do produto e regra da cadeia diretamente em f(x)=x(3x^{2})^{1/3}. Pela regra do produto,
f'(x)=1\cdot(3x^{2})^{1/3}+x\cdot\frac{d}{dx}(3x^{2})^{1/3}.
Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}(3x^{2})^{1/3}=\frac{1}{3}(3x^{2})^{-2/3}\cdot 6x=2x(3x^{2})^{-2/3}.
Substituindo:
f'(x)=(3x^{2})^{1/3}+x\cdot 2x(3x^{2})^{-2/3}=(3x^{2})^{-2/3}\big(3x^{2}+2x^{2}\big)=(3x^{2})^{-2/3}\cdot 5x^{2}.
Simplificando 5x^{2}(3x^{2})^{-2/3}=5\cdot 3^{-2/3} x^{2-4/3}=5\cdot 3^{-2/3} x^{2/3}, que coincide com o resultado do passo anterior:
f'(x)=\frac{5}{3^{2/3}}\,x^{2/3}.

Passo 6

Comportamento em x=0: vale conferir a derivada em 0 pela definição para garantir que não houve perda de validade na manipulação das potências. Usando a definição,
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{3^{1/3}h^{5/3}-0}{h}=3^{1/3}\lim_{h\to0}h^{2/3}=0.
A fórmula f'(x)=\dfrac{5}{3^{2/3}}x^{2/3} também dá zero em x=0. Portanto a expressão encontrada vale para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

f'(x)=\frac{5}{3^{2/3}}\,x^{2/3}.

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