Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
. Informações dadas e observações imediatas: a raiz cúbica está bem definida para todo
, ou seja, o domínio natural da função é todo o conjunto dos números reais. Vamos transformar a expressão para facilitar a diferenciação.
Passo 2
Reescrevendo a função usando potências racionais (uma dica poderosa para provas): lembre-se que
e que
quando faz sentido. Assim,
E
(para potências racionais com denominador ímpar podemos manipular desta forma sem problemas). Portanto
Esse passo simplifica muito a diferenciação: transformamos um produto com raiz em uma potência única.
Passo 3
Apresentando a regra que vamos usar (aula rápida): a regra da potência diz que, para qualquer real
, a derivada de
é
Aqui
. Além disso, se temos uma constante multiplicando a função, a derivada da constante vezes a função é essa constante vezes a derivada da função:
No nosso caso
e
.
Passo 4
Aplicando a regra da potência:
Multiplicando pela constante
obtemos
Agora simplificamos a constante:
Logo uma forma conveniente para a derivada é
Passo 5
Verificação alternativa (útil na prova): podemos usar regra do produto e regra da cadeia diretamente em
. Pela regra do produto,
Pela regra da cadeia,
Substituindo:
Simplificando
, que coincide com o resultado do passo anterior:
Passo 6
Comportamento em
: vale conferir a derivada em
pela definição para garantir que não houve perda de validade na manipulação das potências. Usando a definição,
A fórmula
também dá zero em
. Portanto a expressão encontrada vale para todo
.