Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a função é o logaritmo natural (ln) aplicado à potência . A tarefa é encontrar
, a derivada em relação a
.
Informações dadas: a função é o logaritmo natural (ln) aplicado à potência
Passo 2
Usamos uma propriedade básica dos logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar. A propriedade é:
onde
e
é qualquer expressão. Isso vem da definição de logaritmo e das regras de expoentes: mover o expoente para frente do logaritmo facilita os cálculos porque transforma uma potência em um produto.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso, com
e
, obtemos:
Aqui
é apenas uma constante (número fixo).
Passo 4
Agora derivamos
. Usamos duas regras simples:
- A derivada de uma constante multiplicando uma função:
, onde é constante. - A derivada de uma função linear:
.
No nosso caso
e
. Primeiro derivamos
:
Então
Passo 5
(Faixa extra — verificação usando regra da cadeia) Outra forma de confirmar é usar a regra da cadeia diretamente sobre
com
. A regra da cadeia diz:
Calculamos
. Para
usamos a fórmula
. Aqui
e
, então
e
Logo
o que confirma o resultado obtido na simplificação.