Calcule a derivada de: f(x)=\ln 2^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função \displaystyle f(x)=\ln 2^{3x}.
Informações dadas: a função é o logaritmo natural (ln) aplicado à potência 2^{3x}. A tarefa é encontrar f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Usamos uma propriedade básica dos logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar. A propriedade é:
\ln\big(u^v\big)=v\ln u,
onde u>0 e v é qualquer expressão. Isso vem da definição de logaritmo e das regras de expoentes: mover o expoente para frente do logaritmo facilita os cálculos porque transforma uma potência em um produto.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso, com u=2 e v=3x, obtemos:
f(x)=\ln 2^{3x}=3x\ln 2.
Aqui \ln 2 é apenas uma constante (número fixo).

Passo 4

Agora derivamos f(x)=3x\ln 2. Usamos duas regras simples:
  • A derivada de uma constante multiplicando uma função: \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x), onde c é constante.
  • A derivada de uma função linear: \dfrac{d}{dx}(ax)=a.
No nosso caso c=\ln 2 e g(x)=3x. Primeiro derivamos g(x)=3x:
\frac{d}{dx}(3x)=3.
Então
f'(x)=\ln 2\cdot 3 = 3\ln 2.

Passo 5

(Faixa extra — verificação usando regra da cadeia) Outra forma de confirmar é usar a regra da cadeia diretamente sobre f(x)=\ln(u(x)) com u(x)=2^{3x}. A regra da cadeia diz:
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Calculamos u'(x). Para u(x)=2^{3x} usamos a fórmula \dfrac{d}{dx}a^{v(x)}=a^{v(x)}\ln a\cdot v'(x). Aqui a=2 e v(x)=3x, então v'(x)=3 e
u'(x)=2^{3x}\ln 2\cdot 3.
Logo
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2^{3x}\ln 2\cdot 3}{2^{3x}}=3\ln 2,
o que confirma o resultado obtido na simplificação.

Resposta

3\ln 2

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