Calcule a derivada:
f(x)=\left(1+x^{4}\right)^{2 / 3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=(1+x^4)^{2/3}. Aqui vamos usar a regra da cadeia, que serve para derivar funções compostas, junto com a derivada de potência.

Passo 2

Definimos a parte interna e a externa da função composta. A parte interna é
u(x)=1+x^4
e a parte externa é
g(u)=u^{2/3}.
Assim, f(x)=g\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada de cada parte. Primeiro, a derivada da parte interna:
u'(x)=\frac{d}{dx}(1+x^4)=4x^3.
Em seguida, a derivada da parte externa em relação a u:
g'(u)=\frac{d}{du}\bigl(u^{2/3}\bigr)=\frac{2}{3}u^{-1/3}.

Passo 4

Pela regra da cadeia, a derivada de f é o produto de g'\bigl(u(x)\bigr) por u'(x). Assim,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo as derivadas que encontramos,
f'(x)=\frac{2}{3}(1+x^4)^{-1/3}\cdot 4x^3 =\frac{8x^3}{3}(1+x^4)^{-1/3}.
Essa expressão pode ser reescrita de forma equivalente como
f'(x)=\frac{8x^3}{3\sqrt[3]{1+x^4}}.

Resposta

f'(x)=\frac{8x^3}{3(1+x^4)^{1/3}}.

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