Calcule a derivada.
f(x)=\left(4 x^{3}+2 x^{2}-x-3\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(4x^{3}+2x^{2}-x-3\bigr)^{2}.
Aqui vamos usar a regra da cadeia, que diz que se f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{n}, então
f'(x)=n\,\bigl(g(x)\bigr)^{n-1}\,g'(x),
além de sabermos derivar um polinômio.

Passo 2

Definimos
g(x)=4x^{3}+2x^{2}-x-3
e calculamos a derivada de g:
g'(x)=12x^{2}+4x-1.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia com n=2, temos
f'(x)=2\,\bigl(g(x)\bigr)^{2-1}\,g'(x) =2\,\bigl(4x^{3}+2x^{2}-x-3\bigr)\,\bigl(12x^{2}+4x-1\bigr).

Passo 4

Para escrever num polinômio expandido, primeiro efetuamos o produto
(4x^{3}+2x^{2}-x-3)(12x^{2}+4x-1) =48x^{5}+40x^{4}-8x^{3}-42x^{2}-11x+3,
e em seguida multiplicamos por 2, obtendo
f'(x)=96x^{5}+80x^{4}-16x^{3}-84x^{2}-22x+6.

Resposta

f'(x)=2\,(4x^{3}+2x^{2}-x-3)\,(12x^{2}+4x-1) =96x^{5}+80x^{4}-16x^{3}-84x^{2}-22x+6.

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