Calcule a derivada.
k(x)=\left(5 x^{2}-2 x+1\right)^{-3}

Passo 1

Temos a função
k(x) = \bigl(5x^{2} - 2x + 1\bigr)^{-3}
e o objetivo é calcular k'(x). O conteúdo é derivada de função composta, ou seja, aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a parte interna como
u(x) = 5x^{2} - 2x + 1
e a parte externa como
v(u) = u^{-3}.
Então k(x) = v\bigl(u(x)\bigr) e usaremos
k'(x) = v'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x).

Passo 3

Calculamos primeiro u'(x). Como u(x) é um polinômio,
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(5x^{2} - 2x + 1\bigr) = 10x - 2.

Passo 4

Agora calculamos v'(u). Para v(u)=u^{-3}, pela regra da potência,
v'(u) = -3\,u^{-4}.
Aplicando a regra da cadeia:
k'(x) = v'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x) = -3\,\bigl(u(x)\bigr)^{-4}\,\cdot\,(10x - 2).
Substituindo u(x)=5x^{2}-2x+1,
k'(x) = -3\,(5x^{2}-2x+1)^{-4}\,(10x - 2).
Podemos ainda fatorar 2 em 10x-2 para simplificar:
10x - 2 = 2\,(5x - 1) \quad\Longrightarrow\quad k'(x) = -6\,(5x - 1)\,(5x^{2}-2x+1)^{-4}.

Resposta

k'(x) = -3\,(5x^{2}-2x+1)^{-4}\,(10x - 2) \;=\; -6\,(5x - 1)\,(5x^{2}-2x+1)^{-4}.

Exercícios relacionados