A questão pede a derivada de f(x)=ln|x^2-1|. O conteúdo principal é derivação de função logarítmica com regra da cadeia e tratamento de valor absoluto. Vamos usar a fórmula de derivada de ln|u(x)|.
Passo 2
A teoria nos diz que se f(x)=ln|u(x)|, então sua derivada é u'(x)u(x), desde que u(x)neq 0. Essa fórmula já leva em conta o valor absoluto.
Passo 3
Identificamos u(x)=x^2-1. Calculando sua derivada temos
u'(x)=ddx(x^2-1)=2x
Passo 4
Aplicando a fórmula da derivada de ln|u(x)|, obtemos
f'(x)=u'(x)u(x)=2xx^2-1
Esse resultado vale sempre que x^2-1neq 0, ou seja, xneq pm1.