Seja y=f(x) uma função definida implicitamente pela equação
cos (x-y)x+y=12
Se f(1)=1, determine a derivada de f em x=1.

Passo 1

Vamos começar resumindo: a função y=f(x) está definida implicitamente por cos(x-y)x+y=12. O conteúdo aqui é derivação implícita, usando regra da cadeia e regra do produto/quociente.

Passo 2

Para facilitar, multiplico ambos os lados por x+y e obtenho a forma
cos(x-y)=x+y2
Agora derivo ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo uso regra da cadeia:
ddxl[cos(x-y)r]=-sin(x-y)cdotl(1-y'r)
No lado direito, como é (x+y)/2, a derivada é
ddxl[x+y2r]=1+y'2
Juntando, fica:
$$
-\sin(x-y),(1-y’)=\frac{1+y’}{2}
$$

Passo 3

Agora avalio em x=1 e y=f(1)=1. Como x-y=0, temos sin0=0, logo o lado esquerdo vira zero. O lado direito fica (1+y')/2.
Portanto
0=1+y'2

Passo 4

Resolvo para y':
1+y'=0Rightarrow y'=-1

Resposta

A derivada f'(1) é -1.

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