Calcule a derivada de: f(x)=\frac{5^{-x^{2}-3 x}}{2^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{5^{-x^{2}-3x}}{2^{x}}.
Informações dadas que vamos usar: a função é um quociente de potências com base constante ( 5 e 2) e expoentes que dependem de x. O objetivo é encontrar f'(x).

Passo 2

Escolha do método: vou usar diferenciação por logaritmo (log-diferenciação). Por quê? Porque quando a função é produto ou quociente de potências com expoentes dependentes de x, tomar o logaritmo natural transforma produtos/quocientes em somas/diferenças e potências em multiplicadores, simplificando muito a derivação. Isto deixa o cálculo mais limpo do que aplicar diretamente regra do produto/quociente entretando para exponenciais. Vou mostrar o passo a passo.

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados: use a propriedade \ln(a^b)=b\ln a (válida quando a>0, e aqui 5>0, 2>0). Temos
\ln f(x)=\ln\!\left(5^{-x^{2}-3x}\right)-\ln\!\left(2^{x}\right).
Agora aplicando \ln(a^b)=b\ln a,
\ln f(x)=(-x^{2}-3x)\ln 5 - x\ln 2.
Expliquei: o log transforma a potência em multiplicador, o quociente vira diferença de logs.

Passo 4

Diferencio ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo uso a regra da cadeia para \ln f(x): a derivada de \ln(u(x)) é \dfrac{u'(x)}{u(x)}. Assim
\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{d}{dx}\big[(-x^{2}-3x)\ln 5 - x\ln 2\big].
Agora calculo o lado direito termo a termo.

Passo 5

Calculo as derivadas no lado direito:
  • \ln 5 é constante (número), então a derivada de ( -x^{2}-3x)\ln 5 é \ln 5 vezes a derivada de (-x^{2}-3x). A derivada de -x^{2}-3x é -2x-3. Logo
\frac{d}{dx}\big[(-x^{2}-3x)\ln 5\big]=\ln 5\cdot(-2x-3).
  • \frac{d}{dx}\big[-x\ln 2\big] é -\ln 2, porque \ln 2 é constante e derivada de x é 1.
Somando,
\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln 5\cdot(-2x-3) - \ln 2.
Posso reescrever de forma mais compacta:
\frac{f'(x)}{f(x)} = - (2x+3)\ln 5 - \ln 2.

Passo 6

Multiplico ambos os lados por f(x) para obter f'(x):
f'(x) = f(x)\Big(- (2x+3)\ln 5 - \ln 2\Big).
Agora substituo f(x) pela sua expressão original \dfrac{5^{-x^{2}-3x}}{2^{x}}:
f'(x)=\frac{5^{-x^{2}-3x}}{2^{x}}\Big(- (2x+3)\ln 5 - \ln 2\Big).

Passo 7

Podemos apresentar a resposta factorando o sinal negativo, se quiseres uma forma alternativa mais “fatorada”:
f'(x)=-\frac{5^{-x^{2}-3x}}{2^{x}}\Big((2x+3)\ln 5 + \ln 2\Big).
Ambas as formas são equivalentes. Para checar mentalmente, lembra que a derivada de a^{g(x)} (com a>0 constante) é a^{g(x)}\ln a\cdot g'(x); aplicando isso às duas potências e usando a regra do produto/quociente dá o mesmo resultado, só é mais trabalhoso sem a log-diferenciação.

Resposta

f'(x)=\frac{5^{-x^{2}-3x}}{2^{x}}\Big(- (2x+3)\ln 5 - \ln 2\Big).

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