Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas que vamos usar: a função é um quociente de potências com base constante (
e
) e expoentes que dependem de
. O objetivo é encontrar
.
Passo 2
Escolha do método: vou usar diferenciação por logaritmo (log-diferenciação). Por quê? Porque quando a função é produto ou quociente de potências com expoentes dependentes de
, tomar o logaritmo natural transforma produtos/quocientes em somas/diferenças e potências em multiplicadores, simplificando muito a derivação. Isto deixa o cálculo mais limpo do que aplicar diretamente regra do produto/quociente entretando para exponenciais. Vou mostrar o passo a passo.
Passo 3
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados: use a propriedade
(válida quando
, e aqui
,
). Temos
Agora aplicando
,
Expliquei: o log transforma a potência em multiplicador, o quociente vira diferença de logs.
Passo 4
Diferencio ambos os lados em relação a
. Do lado esquerdo uso a regra da cadeia para
: a derivada de
é
. Assim
Agora calculo o lado direito termo a termo.
Passo 5
Calculo as derivadas no lado direito:
-
é constante (número), então a derivada de é vezes a derivada de . A derivada de é . Logo
-
é , porque é constante e derivada de é .
Somando,
Posso reescrever de forma mais compacta:
Passo 6
Multiplico ambos os lados por
para obter
:
Agora substituo
pela sua expressão original
:
Passo 7
Podemos apresentar a resposta factorando o sinal negativo, se quiseres uma forma alternativa mais “fatorada”:
Ambas as formas são equivalentes. Para checar mentalmente, lembra que a derivada de
(com
constante) é
; aplicando isso às duas potências e usando a regra do produto/quociente dá o mesmo resultado, só é mais trabalhoso sem a log-diferenciação.