Calcule a derivada
f(x)=x ln x^2-1x^2+1

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada de f(x)=x·ln x^2-1x^2+1. Aqui estamos trabalhando com derivadas de funções produto e logaritmo de quociente, então vamos usar a regra do produto, a regra da cadeia e a derivada de ln de uma razão.

Passo 2

Vamos reescrever f(x) como produto de duas funções: seja u(x)= x^2-1x^2+1. Então f(x)=x·ln u(x).

Passo 3

Aplicando a regra do produto: f’(x)=1·ln u(x)+x· ddx[ln(u(x))]. Pela regra da cadeia, ddx[ln(u)] = u'u.

Passo 4

Agora calculamos u’(x). Como u(x)=A/B com A=x^{2}-1 e B=x^{2}+1, temos A’=2x e B’=2x. Então
u'(x)=A'B - AB'B^2=2x(x^2+1)-2x(x^2-1)(x^2+1)^2=4x(x^2+1)^2

Passo 5

Substituindo em u'/u:
u'u=4x/(x^2+1)^2(x^2-1)/(x^2+1)=4x(x^2+1)(x^2-1)

Passo 6

Voltando em f’(x):
f'(x)=lngl(x^2-1x^2+1gr)+xcdot4x(x^2+1)(x^2-1)

Passo 7

E simplificando o segundo termo:
f'(x)=lngl(x^2-1x^2+1gr)+4x^2x^4-1

Resposta

f'(x)=lngl(x^2-1x^2+1gr)+4x^2x^4-1

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