Calcule f^prime(x) (dica: encontre uma fórmula usando exponencial, e^x )
x^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^x e sugere reescrever a função usando exponencial para aplicar derivação de funções compostas e logaritmos.

Passo 2

Vamos usar que qualquer base variável elevada a si mesma pode ser escrita como exponencial:
x^x = e^xln x

Passo 3

Para derivar f(x)=e^{g(x)} aplicamos a regra da cadeia: f’(x)=e^{g(x)}·g’(x). Aqui g(x)=x\ln x, então precisamos calcular g’(x).

Passo 4

Calculando g’(x):
g'(x)=ddx(xln x)=1cdotln x + xcdot1x=ln x +1

Passo 5

Substituindo de volta em f’(x) obtemos
f'(x)=e^xln x(ln x+1)
e lembrando que e^xln x=x^x.

Resposta

f'(x)=x^x(ln x+1)

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