Exercicio 13.6. Utilize variação dos parametros para resolver
y^(4)+2 y^prime prime+y=sin x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 4ª ordem
y^(4)+2y''+y=sin x,
usando variação de parâmetros. Esse é um problema de equações diferenciais lineares e vamos precisar conhecer a solução geral da parte homogênea e depois aplicar variação de parâmetros (ou, equivalentemente, fatorar o operador diferencial) para encontrar uma particular.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada
y^(4)+2y''+y=0
A equação característica é
r^4+2r^2+1=(r^2+1)^2=0
logo as raízes são r=pm i, cada uma com multiplicidade 2. Isso nos dá como solução homogênea
yh(x)=C1cos x+C2sin x+C3,xcos x+C4,xsin x

Passo 3

Repare que o operador diferencial se factora como (D^2+1)^2. Definimos
z=(D^2+1)y,
então a EDO original vira duas equações de 2ª ordem em cascata:
1) (D^2+1)z=sin x,
2) (D^2+1)y=z
Resolvemos cada uma por variação de parâmetros.

Passo 4

Para (D^2+1)z=sin x, tomamos a base z1=cos x,;z2=sin x e Wronskiano W=1. As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'=-z2,sin x=-sin^2x, u2'=z1,sin x=sin xcos x
Integramos:
u1=-integralsin^2x,dx=-tfrac x2+tfracsin2x4, u2=integralsin xcos x,dx=tfracsin^2x2
Então uma solução particular é
zp=u1cos x+u2sin x=-tfrac x2cos x+(termos absorvíveis em zh),í
e portanto escolhemos
z(x)=Acos x+Bsin x-tfrac x2cos x

Passo 5

Agora resolvemos y''+y=z(x). De novo tomamos base y1=cos x,;y2=sin x e Wronskiano W=1. Como os termos Acos x+Bsin x só geram partes homogêneas em y, basta achar a parte particular de
y''+y=-tfrac x2cos x
Aplicando variação de parâmetros só a esse forçamento, obtemos após integração e desprezando termos que caem em yh a solução particular simples
yp(x)=-x^28sin x

Passo 6

Juntando tudo, a solução geral da EDO é
boxedy(x)=C1cos x+C2sin x+C3,xcos x+C4,xsin x-x^28sin x

Resposta

y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+C_3,x\cos x+C_4,x\sin x-\tfrac{x^2}{8}\sin x

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