Exercicio 13.6. Utilize variação dos parametros para resolver
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de 4ª ordem
usando variação de parâmetros. Esse é um problema de equações diferenciais lineares e vamos precisar conhecer a solução geral da parte homogênea e depois aplicar variação de parâmetros (ou, equivalentemente, fatorar o operador diferencial) para encontrar uma particular.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada
A equação característica é
logo as raízes são
, cada uma com multiplicidade 2. Isso nos dá como solução homogênea
Passo 3
Repare que o operador diferencial se factora como
. Definimos
então a EDO original vira duas equações de 2ª ordem em cascata:
1)
2)
Resolvemos cada uma por variação de parâmetros.
Passo 4
Para
, tomamos a base
e Wronskiano
. As fórmulas de variação de parâmetros dão
Integramos:
Então uma solução particular é
e portanto escolhemos
Passo 5
Agora resolvemos
. De novo tomamos base
e Wronskiano
. Como os termos
só geram partes homogêneas em
, basta achar a parte particular de
Aplicando variação de parâmetros só a esse forçamento, obtemos após integração e desprezando termos que caem em
Passo 6
Juntando tudo, a solução geral da EDO é
Resposta
y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+C_3,x\cos x+C_4,x\sin x-\tfrac{x^2}{8}\sin x