Exercicio 13.5. Encontre a solução particular da equação
que satisfaz as condições iniciais
.
Passo 1
A equação dada é uma EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo igual a x. Para resolver com condições iniciais nulas, é bem prático usar transformada de Laplace, pois as derivadas iniciais aparecem diretamente na fórmula, e como são todas zero, simplifica bastante.
Passo 2
Tomamos a transformada de Laplace dos dois lados. Denotando
e sabendo que
, a equação vira:
Fatorando o lado esquerdo:
Assim
Passo 3
Note que o polinômio
pode ser fatorado testando
. De fato,
Então
Passo 4
Fazemos frações parciais:
Igualando numeradores e resolvendo para
, obtemos
,
,
,
,
.
Logo
Logo
Passo 5
Invertendo cada termo:
– vira
.
– vira
.
– vira
.
– Para , completamos o quadrado:
–
–
–
– Para
então
Isso gera, pela tabela de transformadas,
Passo 6
Somando tudo, a solução que satisfaz
é
Passo 7
Verifique rapidamente as condições iniciais: em
, cada exponencial vale 1 e seno vale 0, restando
. Derivando e avaliando dá zero, assim como a segunda derivada, conferindo as condições impostas.