Exercicio 13.5. Encontre a solução particular da equação
y^prime prime prime+2 y^prime prime+2 y^prime+y=x
que satisfaz as condições iniciais y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=0.

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo igual a x. Para resolver com condições iniciais nulas, é bem prático usar transformada de Laplace, pois as derivadas iniciais aparecem diretamente na fórmula, e como são todas zero, simplifica bastante.

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace dos dois lados. Denotando Y(s)=Ly(t) e sabendo que Lx=1/s^2, a equação vira:
s^3Y(s)+2s^2Y(s)+2sY(s)+Y(s)=1/s^2
Fatorando o lado esquerdo:
Y(s)l(s^3+2s^2+2s+1r)=1/s^2
Assim
Y(s)=1s^2,(s^3+2s^2+2s+1)

Passo 3

Note que o polinômio s^3+2s^2+2s+1 pode ser fatorado testando s=-1. De fato,
s^3+2s^2+2s+1=(s+1)(s^2+s+1)
Então
Y(s)=1s^2(s+1)(s^2+s+1)

Passo 4

Fazemos frações parciais:
1s^2(s+1)(s^2+s+1)=As+Bs^2+Cs+1+Ds+Es^2+s+1
Igualando numeradores e resolvendo para A,B,C,D,E, obtemos A=-2, B=1, C=1, D=1, E=1.
Logo
Y(s)=-2s+1s^2+1s+1+s+1s^2+s+1

Passo 5

Invertendo cada termo:
-2/s vira -2.
1/s^2 vira t.
1/(s+1) vira e^-t.
– Para (s+1)/(s^2+s+1), completamos o quadrado:
s^2+s+1=(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2,
então
s+1s^2+s+1=s+tfrac12(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2+1/2(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2
Isso gera, pela tabela de transformadas,
e^-t/2cosl(tfracraiz32tr)+1raiz3e^-t/2sinl(tfracraiz32tr)

Passo 6

Somando tudo, a solução que satisfaz y(0)=y'(0)=y''(0)=0 é
y(t)=-2 + t + e^-t + e^-t/2l[cosl(tfracraiz32tr)+tfrac1raiz3sinl(tfracraiz32tr)r]

Passo 7

Verifique rapidamente as condições iniciais: em t=0, cada exponencial vale 1 e seno vale 0, restando -2+0+1+1=0. Derivando e avaliando dá zero, assim como a segunda derivada, conferindo as condições impostas.

Resposta

y(t)=-2 + t + e^-t + e^-t/2l[cosl(tfracraiz32tr)+tfrac1raiz3sinl(tfracraiz32tr)r].

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