Exercício 7. (Apostol, capítulo 5.11, exercício 14) Para cada uma das afirmações, prove ou dê um contraexemplo. Abaixo e são matrizes em :
Se e são unitárias, então não é unitária.
Passo 1
O enunciado diz que, dadas matrizes unitárias (isto é, satisfazem e ), então não seria unitária. Nosso trabalho é verificar se essa afirmação é verdadeira ou encontrar um contraexemplo.
Passo 2
Lembrando que uma matriz é unitária quando
Em particular, no caso , uma “matriz” unitária é simplesmente um número complexo com .
Passo 3
Queremos dois complexos com tais que
Escrevendo e , tem-se
Para que isso valha 1, basta escolher l|cosl(tfracalpha-beta2r)r|=tfrac12, por exemplo alpha-beta=pmtfrac2pi3.
Passo 4
Façamos a escolha simples alpha=0, beta=tfrac2pi3. Então