Exercício 7. (Apostol, capítulo 5.11, exercício 14) Para cada uma das afirmações, prove ou dê um contraexemplo. Abaixo A e B são matrizes em Mn times n(C) :
Se A e B são unitárias, então A+B não é unitária.

Passo 1

O enunciado diz que, dadas matrizes A,Bin Mntimes n(C) unitárias (isto é, satisfazem A^*A=I e B^*B=I), então A+B não seria unitária. Nosso trabalho é verificar se essa afirmação é verdadeira ou encontrar um contraexemplo.

Passo 2

Lembrando que uma matriz U é unitária quando
U^*U = I
Em particular, no caso n=1, uma “matriz” unitária é simplesmente um número complexo z com |z|=1.

Passo 3

Queremos dois complexos a,b com |a|=|b|=1 tais que
|a+b| = 1
Escrevendo a=e^ialpha e b=e^ibeta, tem-se
|a+b| = l|e^ialpha+e^ibetar| = 2l|cos!l(tfracalpha-beta2r)r|
Para que isso valha 1, basta escolher l|cosl(tfracalpha-beta2r)r|=tfrac12, por exemplo alpha-beta=pmtfrac2pi3.

Passo 4

Façamos a escolha simples alpha=0, beta=tfrac2pi3. Então
a = 1, b = e^i2pi3 = -tfrac12 + itfracraiz32,
e
a+b = 1 - tfrac12 + itfracraiz32 = tfrac12 + itfracraiz32 = e^ipi3,
que tem módulo 1.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo em dimensão 1 é
A = (1), B = l(e^i2pi3r),
pois A e B são unitárias e
A+B = l(e^ipi3r)
também é unitária.

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