Calcule a derivada.
f(x)=3 x^{2} \operatorname{sec} x-x^{3} \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=3x^{2}\operatorname{sec} x \;-\;x^{3}\tan x.
O conteúdo principal aqui é a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas \operatorname{sec} x e \tan x.

Passo 2

Separemos f(x) em dois produtos:
u(x)=3x^{2}\operatorname{sec} x \quad\text{e}\quad v(x)=x^{3}\tan x.
Usaremos a regra do produto, que diz (fg)'=f'g+fg', em cada um.

Passo 3

Derivando u(x)=3x^{2}\operatorname{sec} x:
  • f(x)=3x^{2} tem f'(x)=6x.
  • g(x)=\operatorname{sec} x tem g'(x)=\operatorname{sec} x\tan x.
    Pela regra do produto,
u'(x)=6x\operatorname{sec} x \;+\;3x^{2}\bigl(\operatorname{sec} x\tan x\bigr).

Passo 4

Derivando v(x)=x^{3}\tan x:
  • f(x)=x^{3} tem f'(x)=3x^{2}.
  • g(x)=\tan x tem g'(x)=\operatorname{sec}^{2}x.
    Pela regra do produto,
v'(x)=3x^{2}\tan x \;+\;x^{3}\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Como f(x)=u(x)-v(x), sua derivada é
f'(x)=u'(x)-v'(x) = \bigl[6x\operatorname{sec} x +3x^{2}\operatorname{sec} x\tan x\bigr] -\bigl[3x^{2}\tan x +x^{3}\operatorname{sec}^{2}x\bigr].
Reescrevendo,
f'(x) =6x\operatorname{sec} x +3x^{2}\operatorname{sec} x\tan x -3x^{2}\tan x -x^{3}\operatorname{sec}^{2}x.

Resposta

f'(x) =6x\operatorname{sec} x +3x^{2}\operatorname{sec} x\tan x -3x^{2}\tan x -x^{3}\operatorname{sec}^{2}x.

Exercícios relacionados