Calcule a derivada de f(x)=raiz1+cos ^4(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raiz1+cos^4(x)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=gl(h(x)r)
com
g(u)=raizu=u^tfrac12 e h(x)=1+cos^4(x)
Assim, vamos achar e separadamente.

Passo 3

Para g'(u)=tfrac12,u^-tfrac12 vale
h'(x)=4cos^3(x)cdotddx[cos(x)] =4cos^3(x)cdot(-sin(x)) =-4cos^3(x)sin(x)
Para a derivada da constante é zero e, pela regra da potência e da cadeia em ,

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia,
f'(x)=g'l(h(x)r),h'(x) =12,(1+cos^4(x))^-tfrac12,l(-4cos^3(x)sin(x)r)
Fatorando e simplificando:
f'(x)=-2,cos^3(x)sin(x)raiz1+cos^4(x)

Resposta

f'(x)=-2cos^3(x)sin(x)raiz1+cos^4(x)

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