Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.
Passo 1
A equação diferencial dada é
Isso é um caso de equação homogênea de grau 2 (todos os termos têm grau 2 em x e y). Para resolver, vamos usar a substituição y = vx (onde v é função de x) para reduzir a equação.
Passo 2
Com y = vx temos dy = v,dx + x,dv. Substituindo na equação:
Então
Passo 3
Agrupando os termos em dx e dv e simplificando por x^{2} obtemos
Isso leva à separação de variáveis:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo fica . Para o lado direito, fazemos frações parciais em v.
Passo 5
Fazendo a decomposição:
com soluções e . Integrando,
Passo 6
Voltando a x e y (lembre que v=y/x), a solução geral em forma implícita é
ln|x| = 12raiz5ln|x+raiz5 yx-raiz5 y| - 15ln|x^2-5y^2| + C
Resposta
A solução geral implícita da equação é
ln|x| = 12raiz5ln|x+raiz5 yx-raiz5 y| - tfrac15lnl|x^2-5y^2r| + C