Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.

Passo 1

A equação diferencial dada é
(x^2+xy-3y^2),dx - (x^2+2xy),dy = 0
Isso é um caso de equação homogênea de grau 2 (todos os termos têm grau 2 em x e y). Para resolver, vamos usar a substituição y = vx (onde v é função de x) para reduzir a equação.

Passo 2

Com y = vx temos dy = v,dx + x,dv. Substituindo na equação:
M = x^2+x(vx)-3(vx)^2 = x^2(1+v-3v^2),
N = -(x^2+2x(vx)) = -x^2(1+2v)
Então
x^2(1+v-3v^2),dx - x^2(1+2v)l(v,dx + x,dvr)=0

Passo 3

Agrupando os termos em dx e dv e simplificando por x^{2} obtemos
(1-5v^2),dx - x(1+2v),dv = 0
Isso leva à separação de variáveis:
dxx = 1+2v1-5v^2,dv

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dxx = integral 1+2v1-5v^2,dv
No lado esquerdo fica ln|x|. Para o lado direito, fazemos frações parciais em v.

Passo 5

Fazendo a decomposição:
1+2v1-5v^2 = A1-raiz5v + B1+raiz5v,
com soluções A=tfrac12+tfrac1raiz5 e B=tfrac12-tfrac1raiz5. Integrando,
integral 1+2v1-5v^2,dv = 12raiz5ln|1+raiz5 v1-raiz5 v| - 15ln|1-5v^2| + C

Passo 6

Voltando a x e y (lembre que v=y/x), a solução geral em forma implícita é
ln|x| = 12raiz5ln|x+raiz5 yx-raiz5 y| - 15ln|x^2-5y^2| + C

Resposta

A solução geral implícita da equação é
ln|x| = 12raiz5ln|x+raiz5 yx-raiz5 y| - tfrac15lnl|x^2-5y^2r| + C

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