Encontre a derivada das funções dadas.
(14) f(x)=raiz[3]arcsen 2(xraiz1-x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=raiz[3]arcsen!l(2xraiz1-x^2r)
O conteúdo principal é a aplicação da regra da cadeia em três níveis: a raiz cúbica, a função arcsen e a função racional interna. Vamos usar derivadas conhecidas de raiz[3]u, de arcsen(u) e de u=2x/raiz1-x^2.

Passo 2

Definimos as funções intermediárias:
u(x)=arcsen!l(2xraiz1-x^2r), v(u)=u^1/3
Assim f(x)=vl(u(x)r). Pela regra da cadeia,
f'(x)=v'l(u(x)r),cdot u'(x)
Sabemos que
v'(u)=13,u^-2/3
Logo
v'l(u(x)r) =13,l(u(x)r)^-2/3 =13,l[arcsen!l(tfrac2xraiz1-x^2r)r]^-2/3

Passo 3

Agora derivamos
u(x)=arcsen!l(g(x)r), g(x)=2xraiz1-x^2
Usamos a derivada de arcsen:
ddxl[arcsen(g)r] =g'(x)raiz1-l(g(x)r)^2
Portanto
u'(x) =g'(x)raiz1-l(tfrac2xraiz1-x^2r)^2

Passo 4

Calculamos g'(x). Escreva
g(x)=2x,(1-x^2)^-1/2
Derivando por produto e potência,
g'(x) =2,(1-x^2)^-1/2 +2xcdotl(-tfrac12r)(1-x^2)^-3/2cdot(-2x) =2raiz1-x^2+2x^2(1-x^2)^3/2 =2l(1-x^2+x^2r)(1-x^2)^3/2 =2(1-x^2)^3/2

Passo 5

Simplificamos o denominador de u'(x):
1-l(tfrac2xraiz1-x^2r)^2 =1-4x^21-x^2 =1-x^2-4x^21-x^2 =1-5x^21-x^2
Logo
raiz1-l(g(x)r)^2 =raiz1-5x^21-x^2 =raiz1-5x^2raiz1-x^2
Portanto
u'(x) = 2(1-x^2)^3/2 raiz1-5x^2raiz1-x^2 =2(1-x^2)^3/2cdotraiz1-x^2raiz1-5x^2 =2(1-x^2),raiz1-5x^2

Passo 6

Reunindo tudo em f'(x)=v'(u(x))cdot u'(x), temos
f'(x) =13,l[arcsen!l(tfrac2xraiz1-x^2r)r]^-2/3 ;cdot;2(1-x^2),raiz1-5x^2
Ou seja,
f'(x) =23,(1-x^2),raiz1-5x^2,l[arcsenl(tfrac2xraiz1-x^2r)r]^2/3

Resposta

boxed f'(x) =23,(1-x^2),raiz1-5x^2,l[arcsen!l(tfrac2xraiz1-x^2r)r]^2/3

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