Calcule a derivada de: f(x)=\cos (2 x) \operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=\cos(2x)\,\sin(2x)\, e pede que calculemos a derivada f'(x). Informações relevantes que temos: a função é dada explicitamente em termos de funções trigonométricas compostas por 2x. A única pergunta é encontrar f'(x).

Passo 2

Regra do produto (fórmula e explicação). Se temos duas funções \,u(x)\, e \,v(x)\,, a derivada do produto \,u(x)v(x)\, é dada por
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui \,u'(x)\, significa a derivada de \,u em relação a x e \,v'(x)\, a derivada de \,v em relação a x. Intuitivamente, a regra do produto soma a contribuição da variação de cada fator mantendo o outro fixo. Vamos aplicar essa regra com u(x)=\cos(2x) e v(x)=\sin(2x).

Passo 3

Regra da cadeia (fórmula e explicação). Quando temos uma função composta \,g(h(x))\,, a derivada é
\frac{d}{dx}g(h(x))=g'(h(x))\cdot h'(x).
Ou seja, derivamos a função externa \,g avaliando-a em h(x) e multiplicamos pela derivada da função interna h(x). Vamos usar isso para derivar \cos(2x). Sabemos que a derivada de \cos(u) em relação a u é \,-\sin(u)\,. Aplicando a regra da cadeia com u=2x obtemos
\frac{d}{dx}\cos(2x)=-\sin(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x).
Como \frac{d}{dx}(2x)=2, temos
\frac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x).

Passo 4

Derivada de \sin(2x) usando a regra da cadeia. A derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u). Aplicando a regra da cadeia com u=2x,
\frac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x)=2\cos(2x).

Passo 5

Aplicando a regra do produto com os resultados dos passos anteriores. Tomando u(x)=\cos(2x) e v(x)=\sin(2x), temos
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u'(x)=-2\sin(2x) e v'(x)=2\cos(2x) obtemos
f'(x)=(-2\sin(2x))\sin(2x)+\cos(2x)(2\cos(2x)).
Agora simplificamos termo a termo:
f'(x)=-2\sin^2(2x)+2\cos^2(2x).
Colocando em evidência 2 :
f'(x)=2\big(\cos^2(2x)-\sin^2(2x)\big).

Passo 6

Identidade trigonométrica para simplificar (explicação). Há uma identidade conhecida:
\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta.
Aplicando com \theta=2x obtemos
\cos(4x)=\cos^2(2x)-\sin^2(2x).
Substituindo na expressão do passo anterior:
f'(x)=2\cos(4x).

Passo 7

Método alternativo curto (confirmação e dica). Sabendo que \sin(2a)=2\sin a\cos a, podemos inverter a relação para escrever
\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x).
Assim \cos(2x)\sin(2x)=\tfrac{1}{2}\sin(4x). Derivando essa forma usando a regra da cadeia:
f(x)=\tfrac{1}{2}\sin(4x)\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\tfrac{1}{2}\cos(4x)\cdot 4=2\cos(4x),
o que confirma o resultado anterior. Dica para prova: é frequentemente mais rápido usar a identidade dupla para simplificar antes de derivar.

Resposta

\,2\cos(4x)

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