Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que calculemos a derivada
. Informações relevantes que temos: a função é dada explicitamente em termos de funções trigonométricas compostas por
. A única pergunta é encontrar
.
Passo 2
Regra do produto (fórmula e explicação). Se temos duas funções
e
, a derivada do produto
é dada por
Aqui
significa a derivada de
em relação a
e
a derivada de
em relação a
. Intuitivamente, a regra do produto soma a contribuição da variação de cada fator mantendo o outro fixo. Vamos aplicar essa regra com
e
.
Passo 3
Regra da cadeia (fórmula e explicação). Quando temos uma função composta
, a derivada é
Ou seja, derivamos a função externa
avaliando-a em
e multiplicamos pela derivada da função interna
. Vamos usar isso para derivar
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia com
obtemos
Como
, temos
Passo 4
Derivada de
usando a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia com
,
Passo 5
Aplicando a regra do produto com os resultados dos passos anteriores. Tomando
e
, temos
Substituindo
e
obtemos
Agora simplificamos termo a termo:
Colocando em evidência
:
Passo 6
Identidade trigonométrica para simplificar (explicação). Há uma identidade conhecida:
Aplicando com
obtemos
Substituindo na expressão do passo anterior:
Passo 7
Método alternativo curto (confirmação e dica). Sabendo que
, podemos inverter a relação para escrever
Assim
. Derivando essa forma usando a regra da cadeia:
o que confirma o resultado anterior. Dica para prova: é frequentemente mais rápido usar a identidade dupla para simplificar antes de derivar.