Calcule a derivada de: f(x)=\frac{1}{\sqrt{3 x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\frac{1}{\sqrt{3 x^{2}}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{a função é }f(x)=\frac{1}{\sqrt{3x^{2}}}.çãé
Observações úteis (dados que podemos usar sem resolver ainda): \sqrt{3x^{2}}=\sqrt{3}\,\sqrt{x^{2}}=\sqrt{3}\,|x|, portanto f(x) está definida para todo x\in\mathbb{R} com x\neq0 (em x=0 o denominador é zero).

Passo 2

Reescrevemos a função de uma forma que facilite a derivação usando potências. Usando potências:
f(x)=(3x^{2})^{-1/2}.
Vou usar duas regras que você precisa entender bem:
  1. Regra da potência (caso simples): se g(u)=u^{n} então g'(u)=n\,u^{n-1}. Aqui n é qualquer número real e u é uma função de x.
  2. Regra da cadeia: se f(x)=g(u(x)) então f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x). Ou seja, derivamos a função exterior e multiplicamos pela derivada da função interior.
Explico com calma: pense em u(x)=3x^{2} e em g(u)=u^{-1/2}. Então f(x)=g(u(x)). Vamos aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 3

Calcule as derivadas intermediárias:
u(x)=3x^{2}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=6x.
g(u)=u^{-1/2}\quad\Rightarrow\quad g'(u)=-\tfrac{1}{2}u^{-3/2}.
Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x)=-\tfrac{1}{2}\,(3x^{2})^{-3/2}\cdot 6x.
Multiplicando os fatores numéricos -\tfrac{1}{2}\cdot 6x=-3x, obtemos
f'(x)=-3x\,(3x^{2})^{-3/2}.

Passo 4

Precisamos simplificar a expressão com cuidado, lembrando que (x^{2})^{3/2}=(\sqrt{x^{2}})^{3}=|x|^{3}. Então
(3x^{2})^{-3/2}=3^{-3/2}(x^{2})^{-3/2}=3^{-3/2}|x|^{-3}.
Substituindo em f'(x):
f'(x)=-3x\cdot 3^{-3/2}\,|x|^{-3}=-3^{1-3/2}\,x\,|x|^{-3}=-3^{-1/2}\,x\,|x|^{-3}.
Como 3^{-1/2}=1/\sqrt{3}, isto fica
f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{3}}\,\frac{x}{|x|^{3}}.

Passo 5

Vamos reescrever x/|x|^{3} de uma forma mais transparente. Note que \dfrac{x}{|x|^{3}}=\dfrac{x}{|x|\;|x|^{2}}=\dfrac{x}{|x|}\cdot\frac{1}{|x|^{2}}=\operatorname{sgn}(x)\cdot\frac{1}{x^{2}}, porque \operatorname{sgn}(x)=x/|x| e |x|^{2}=x^{2}. Assim
f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{3}}\,\operatorname{sgn}(x)\,\frac{1}{x^{2}}.
Escrevendo de forma piecewise (mais intuitiva para a prova),
para x>0 temos \operatorname{sgn}(x)=1 e
f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{3}\,x^{2}},
para x<0 temos \operatorname{sgn}(x)=-1 e
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{3}\,x^{2}}.
Em x=0 a função não está definida, logo a derivada também não existe aí.

Passo 6

Fazendo um chequinho rápido com valores: para x=1, f(x)=1/\sqrt{3} e pela fórmula f'(1)=-1/\sqrt{3}. Para x=-1, f(-1)=1/\sqrt{3} também, e f'(-1)=+1/\sqrt{3}. Isso confirma a troca de sinal para x<0.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sgn}(x)\frac{1}{x^{2}},\qquad x\neq0.
ou, escrito em forma piecewise,
f'(x)=\begin{cases} -\dfrac{1}{\sqrt{3}\,x^{2}}, & x>0,\\[6pt] \dfrac{1}{\sqrt{3}\,x^{2}}, & x<0. \end{cases}]

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