Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observações úteis (dados que podemos usar sem resolver ainda):
, portanto
está definida para todo
com
(em
o denominador é zero).
Passo 2
Reescrevemos a função de uma forma que facilite a derivação usando potências. Usando potências:
Vou usar duas regras que você precisa entender bem:
- Regra da potência (caso simples): se
então . Aqui é qualquer número real e é uma função de . - Regra da cadeia: se
então . Ou seja, derivamos a função exterior e multiplicamos pela derivada da função interior.
Explico com calma: pense em
e em
. Então
. Vamos aplicar a regra da cadeia passo a passo.
Passo 3
Calcule as derivadas intermediárias:
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Multiplicando os fatores numéricos
, obtemos
Passo 4
Precisamos simplificar a expressão com cuidado, lembrando que
. Então
Substituindo em
:
Como
, isto fica
Passo 5
Vamos reescrever
de uma forma mais transparente. Note que
, porque
e
. Assim
Escrevendo de forma piecewise (mais intuitiva para a prova),
para temos
e
para
para
temos
e
Em
a função não está definida, logo a derivada também não existe aí.
Passo 6
Fazendo um chequinho rápido com valores: para
,
e pela fórmula
. Para
,
também, e
. Isso confirma a troca de sinal para
.
Resposta
ou, escrito em forma piecewise,