Calcule a derivada de f(x) = tan(x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=tan(x), que cai no tópico de derivadas de funções trigonométricas. Vamos precisar da regra do quociente e das derivadas de sin(x) e cos(x).

Passo 2

Podemos escrever tan(x) como quociente: f(x)=sin(x)cos(x).

Passo 3

Aplicando a regra do quociente, com u(x)=sin(x) e v(x)=cos(x), temos: f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2=cos(x)cdotcos(x)-sin(x)cdot(-sin(x))cos^2(x).

Passo 4

No numerador aparece cos^2(x)+sin^2(x), que é 1 pela identidade trigonométrica. Então obtemos: f'(x)=1cos^2(x).

Passo 5

Reconhecendo que 1/cos^2(x) é sec^2(x), concluímos a derivada de tan(x).

Resposta

f'(x)=sec^2(x)

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