Calcule a derivada \frac{d y}{d x} :
y=\frac{x \operatorname{arctg}(x)}{\cos (2 x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x,arctg(x)cos(2x),
O conteúdo necessário inclui a regra do quociente, a regra do produto, a derivada de arctg(x) e a derivada de cos(2x).

Passo 2

Definimos
U = x,arctg(x), V = cos(2x),
de modo que
y = UV
Pela regra do quociente,
dydx = U',V - U,V'V^2

Passo 3

Calculamos U' e V':
U' = ddxl(xr)cdotarctg(x) + xcdotddxl(arctg(x)r) = arctg(x) + xcdot11+x^2
V' = ddxl(cos(2x)r) = -sin(2x)cdot 2 = -2,sin(2x)

Passo 4

Substituindo na regra do quociente:
dydx = l[arctg(x) + dfracx1+x^2r]cos(2x) - l[x,arctg(x)r]l(-2sin(2x)r) cos^2(2x)
Reorganizando sinais e somando termos:
dydx = arctg(x),cos(2x) + dfracx1+x^2,cos(2x) + 2,x,arctg(x),sin(2x) cos^2(2x)

Resposta

dydx = arctg(x),cos(2x) + dfracx1+x^2,cos(2x) + 2,x,arctg(x),sin(2x) cos^2(2x)

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